| English | 意味 |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | 指数関数 |
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | 対数 |
| base/beɪs/ | 底数 |
| natural log/ˈnætʃərəl lɒɡ/ | 自然対数 |
| common log/ˈkɒmən lɒɡ/ | 常用対数 |
逆の質問
- 指数関数は「1から始めて2を5回掛けると何になるか？」という答えを提供します（$2^5 = 32$）。
- 対数関数はその逆の質問に答えます:「2を何回掛けると32になるか？」（$5$）。
- この逆の質問はあらゆる場面で登場します: pH値、地震のマグニチュード、デシベル、複利など。
- 対数関数とは単に、取り出された指数のことです。
対数とは指数
- 対数 は、「底を何乗すればその値になるか」に答えます。
- $\log_b y = x$ はちょうど $b^x = y$ を意味します — 対数 そのもの が指数 $x$ です。
- だから $\log_2 8 = 3$ であり、 $2^3 = 8$ だからです。
- 対数を「機能する指数」として読むと、より神秘性が薄れます。
Read a logarithm off the exponential curve
y = 2ˣ
Find the y-value 8 on the curve y = 2ˣ. The x that produces it is the exponent — that is log base 2 of 8.
The statement $\log_b y = x$ means the same as…
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A logarithm is the exponent: $\log_b y = x$ asks "$b$ to what power gives $y$?", so $b^x = y$.
Evaluate $\log_2 8$.
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$2^3 = 8$, so the exponent is $3$: $\log_2 8 = 3$.
常用対数と自然対数
- 非常に一般的な2つの底があり、それぞれ省略形を持っています。
- 底が示されていない 常用対数 $\log$ は底 $10$ を持ちます。
- 自然対数 $\ln$ は底 $e \approx 2.718$ を持ちます。
- 電卓には両方のボタンがあります。他の底については換底公式を使用します。
The natural log $\ln$ uses which base?
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The natural log has base $e$; the common log ($\log$ with no base written) has base $10$.
Select all true statements about logarithms.
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The argument of a log must be positive, so you cannot take the log of a negative. The other three are correct.
形式間の変換
- 全ての 指数方程式 には対応する対数方程式があります。
- $b^x = y \iff \log_b y = x$ — 同じ事実を2通りで書いたものです。
- $10^3 = 1000$ を $\log_{10} 1000 = 3$ に書き換えます。
- 形式の変更は、指数が未知の方程式を解くための重要なコツです。
引数（Argument）は正でなければならない
- 対数をとれるのは 正の 数のみです。
- 正の底を任意の指数で乗じても正の値になるため、$b^x$ は $0$ や負の値に達しない。
- したがって、$\log_b y$ は $y \le 0$ に対して定義されない。
- この制限は対数関数の定義域を決定します。
The argument (input) of a logarithm must be ____, because a positive base to any power stays positive.
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Since $b^x > 0$ always, no exponent can produce zero or a negative — so $\log_b y$ needs $y > 0$.
$\log_b y$ は 指数 であり、積ではありません。 $\log_2 8$ は $3$ （べき）であり、 $2 \times 8$ ではありません。また、 $0$ や負の数の対数を取ることはできません — 引数は厳密に正でなければなりません。
対数を使って $2^x = 16$ を解きます。
- 対数形式に書き換えます: $x = \log_2 16$ 。
- 「$2$ において $16$ は何乗か？」と問います — $2^4 = 16$ なので、答えは $4$ です。
- つまり $x = 4$ : 対数が指数を引き出して私たちに与えてくれたのです。
対数とは指数のことである: $\log_b y = x$ は $b^x = y$ を意味する。常用対数は底数 $10$ を用い、自然対数は底数 $e$ を用いる。すべての指数関数の式は対数式に変換でき、対数の真数は常に正でなければならない。