| English | 意味 |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 合成 |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | 合成関数 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
連鎖された関数
- 一つの関数に数値を入力し、その答えを次の関数に入力します。
- 2つの機械が列になって動作し、最初の出力が次の入力になります。
- この連鎖を合成といい、複雑な関数を単純な関数から構築します。
- "変換してから丸める"や"割引後に税を加える"といった計算の実際の仕組みです。
合成関数
- 合成関数は $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ と書かれます。
- 内側から外側へ読む：まず $g$ を適用し、その結果に対して $f$ を適用します。
- 合成により、$g$ の出力をそのまま $f$ の入力として渡します。
- つまり、$g$ は内側の関数、$f$ は外側の関数です。
入力を2つの関数に順次通す
パイプラインをステップバイステップで進める — g の出力をそのまま f に渡す。
合成 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ において、どちらの関数が最初に作用しますか？
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内側から外側へ計算します：まず $g$ が $x$ に作用し、その後 $f$ がその結果 $g(x)$ に作用します。
合成の評価
- いつも内側から外側へ進めてください。
- $f(g(2))$ を求めるには、まず $g(2)$ を計算し、その数値を $f$ に代入します。
- $g(x)=x+1$ と $f(x)=x^2$ が与えられた場合：$g(2)=3$ を計算し、次に $f(3)=9$ を適用します。
- 数式そのものを合成して、連鎖全体に対する一つのルールを得ることもできます。
$g(x) = x + 1$ と $f(x) = x^2$ が与えられたとき、$f(g(2))$ は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
内側から開始：$g(2) = 3$ 。次に外側：$f(3) = 3^2 = 9$ 。
合成の定義域
- 合成は、連鎖が実際に機能する範囲でのみ定義されます。
- 値 $g(x)$ は $f$ にとって有効な入力である必要があり、$f$ の定義域に含まれている必要があります。
- $g$ が生成する数値を $f$ が受け入れられない場合、その $x$ は除外されます。
- そのため、合成関数の定義域は $g$ のみの定義域より小さくなることがあります。
$g(x)$ を $f$ の内部で利用可能にするには、値 $g(x)$ は $f$ の ____ 内に含まれる必要がある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
合成関数は $g(x)$ の出力が $f$ の定義域の要素となる場合のみ定義されます — つまり $f$ の 定義域 の内部です。
合成に関するすべての真の記述を選択せよ。
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順序は通常 重要 である — 合成は可換的ではない。他の3つは正しい記述です。
順序が重要
- 合成は一般的に可換ではありません：$f(g(x)) \neq g(f(x))$。
- "靴下を履いてから靴を履く"ことは、「靴を履いてから靴下を履く」とは異なります。
- $f(x)=x^2$ と $g(x)=x+1$ を用いる場合：$f(g(x))=(x+1)^2$ となるが、$g(f(x))=x^2+1$ ではない。
- どの関数が内側で、どの関数が外側にあるかを常に尊重してください。
合成は可換的である：$f(g(x))$ は常に $g(f(x))$ に等しい。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
順序は重要である。$f(x)=x^2$ と $g(x)=x+1$ を用いると、$f(g(x))=(x+1)^2$ となる場合と $g(f(x))=x^2+1$ となる場合があり — 異なる結果になる。
$f(g(x))$ と $f(x)\cdot g(x)$ を混同しないでください。合成は一つの関数を別の関数に供給するものであり、掛け算ではありません。また、通常は可換でないため、順序を入れ替えると答えが変わります。
$g(x) = \sqrt{x}$ と $f(x) = x + 3$ が与えられています。$(f \circ g)(x)$ とその定義域を求めよ。
- 内側から：$g(x) = \sqrt{x}$、次に外側：$f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$。
- 平方根は $x \ge 0$ を必要とするため、定義域は $x \ge 0$ です。
- $f$ 単独であれば全実数を受理しますが、内側の $g$ が合成を制限します。
合成関数 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ は2つの関数を連結します：内側の $g$ が先に作用し、次に $f$ が続きます。内側から外側へ評価し、その定義域には $g(x)$ が $f$ にとって有効な入力である必要があることを思い出してください。合成は一般的に可換ではありません — 順序が重要です。