| English | 意味 |
|---|---|
| linear model/ˈlɪnɪə ˈmɒdl/ | 線形モデル |
| quadratic model/kwɒˈdrætɪk ˈmɒdl/ | 二次モデル |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | 指数モデル |
| residuals/rɪˈsɪdʒuːəlz/ | 残差 |
3つの曲線、1つのデータセット
- 同一のプロットは、直線、放物線、あるいは指数関数のいずれでも近似できる。
- 各曲線はデータ付近を通るが、真の形状を捉えているのはそのうちの一つだけである。
- 不適切な家族（関数の種類）を選べば、予測は大きくずれる。
- では、どのモデルを本当に信頼すべきかどう决定是否するか？
各家族を試す
- 同一のプロットに対して 線形モデル、二次モデル、指数関数モデル のそれぞれをフィットさせる。
- 各モデルは式と、データの雲の中を通る曲線を生成する。
- 各曲線がプロットに対してどのように位置しているかを確認する。
- 直線は曲がらず、放物線は一度曲がり、指数関数は常に上方にカーブしていく。
残差による適合性の評価
- 残差とは、データ値とモデルによる予測値との間の差のことです。
- 残差が小さく、かつパターンなく散らばっている場合、それは良いフィットを示します。
- 残差が大きく、あるいは曲線を描いている場合、それは不適切な関数の族であることを意味します。
- 残差を比較することで、競合するモデルの優劣を客観的に判断できます。
直線では対応できない曲線
y = a·bˣ
指数関数は曲線状のデータにフィットします。底を1に近づけて、直線に近い平坦な形状になる様子を見てみてください。
残留値とは……の差のことです。
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残留値 = 観測値 − 予測値。残留値が小さいほど、モデルはデータをよく当てはめています。
モデルがデータにどれだけ適合しているかを判断するには、その ____ の大きさを見てください。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
小さな残留値（およびそれらに明確なパターンがないこと）は、より良い適合を示唆します。
最終的には指数関数が勝利する
- 範囲が十分に長ければ、指数関数はあらゆる多項式よりも大きく成長します。
- $x^{100}$ が始まると、$2^x$ は残されません。
- したがって、継続的に倍増するデータに対して、指数関数は自然な長期モデルとなります。
- 多項式は曲線を描きますが、安定した倍速には追いつけません。
十分な時間が経てば、指数モデルはいずれかの多項式モデルよりも最終的に速く成長します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
長期的に見れば、指数成長は $x^2, x^3,$ を凌駕します even $x^{100}$ ——指数は常に勝ちます。
モデル比較に関するすべての正しい文を選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
最適なフィットは、残差が「最小」であることであり、最大ではありません。他の3つは正しい記述です。
文脈と証拠に基づいて選択する
- 残差を確認するだけでなく、状況に関する既存の知識も活用してください。
- 預金口座の利子 → 指数関数；自由落下する物体 → 二次関数。
- 良好に適合し、かつ物理的に妥当である最も単純なモデルを優先してください。
- データと、それを裏付ける背景故事の両方を用いて、その選択を正当化してください。
一定の割合で倍加するデータには、……によるモデル化が最適です。
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一定比率での倍加は指数モデルの特徴であり、多項式モデルのものではありません。
高い次数の多項式はすべての点を通り得ますが、それでも極めて悪いモデルになり得ます。データ間では激しく振動し、その外側では意味のない予測を行うからです。単に適合度が高いだけでは不十分であり、関数の族が根本的な挙動と一致している必要があります。
4ヶ月間の売上：$100, 150, 225, 340$。
- 比率：$150/100 = 1.5$、$225/150 = 1.5$、$340/225 \approx 1.5$ — およそ一定です。
- 一定の比率は直線モデルではなく指数関数モデルを示唆します。
- モデル：$S \approx 100 \cdot 1.5^{\,m}$、月ごとのおおよそ$50\%$の成長と整合します。
直線モデル、二次関数モデル、指数関数モデルを同じデータで比較するには、残差を確認します（小さいほど良い）。指数関数はいずれの多項式よりも最終的に大きくなることをrememberし、証拠と文脈の両方が最終的な選択を導くようにしてください。