| English | 意味 |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商の法則 |
| base/beɪs/ | 底数 |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 積の法則 |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | 累乗の法則 |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | 同値 |
冪の演算ルール
- 変数が指数に含まれると、限られたルールのセットにより、あらゆる式を再配置できるようになります。
- 冪の掛け算、割り算、冪の冪への昇幂 —— それぞれに短縮法があります。
- これらの短縮法は、複雑な表現を単純なものに変えます。
- また、指数関数をより便利な形に書き換えることもできます。
積の微分法と商の微分法
- 同じ底のを掛け合わせると、指数を足し合わせます：積の法則 $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ 。
- 割り算すると指数が引かれる：商の法則 $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$ 。
- いずれかの法則を適用するには、底数が同じである必要がある。
- これらは直感と一致する: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$。
右へ進む每一步で底に掛けられます。
y = a·bˣ
x = 1, 2, 3 における y の値を読み取ります。それぞれ前の値に底をかけたものです——それが bˣ⁺¹ = bˣ · b となる理由です。
指数の積の法則は $b^m \cdot b^n =$ を示します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
同じ底の累乗を掛けると、指数を足し合わせます：$b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ 。
商の法則は $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$ を示します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
同じ底の累乗を割ると、指数を引きます——これは積の法則の鏡像です。
べきの法則
- べきをさらにべきにするとき、指数は掛け合わせる：べきの法則 $(b^m)^n = b^{mn}$ 。
- つまり $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ で、$8^2 = 64$ と一致する。
- グラフ上で単位ステップ右へ進むと、出力は底数で倍になる。
- これらの法則 together で、指数関数がどのように成長するかを説明している。
*右へ進むごとに底を掛けていくため、bˣ⁺¹ = bˣ · b となります。
べきの法則は $(b^m)^n =$ を示します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
累乗の累乗をとると、指数を掛け合わせます：$(b^m)^n = b^{mn}$ 。
指数のシフト
- 指数のシフトは定数倍に相当します: $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$。
- つまり $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$ — グラフを左へずらすことは、拡大することと同じです。
- これは指数関数の変換と指数の法則を結びつけています。
- 縦方向の伸縮と横方向のシフトは、実質的に同じ指数関数を表していることがあります。
$b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ を用いることで、$2^{x+3}$ を $2^x$ × ____ と書き換えることができます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8$ ——指数の変化は定数倍となります。
底の変更
- 計算や比較が容易な場合、任意の指数関数は別の底で書き換えることができます。
- 例えば $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ — 同じ関数ですが、底が $2$ に変わります（元の底は $4$）。
- 共通の底に書き換えることで、2つの指数関数が等価であることがわかります。
- 比較や計算が最も簡単になる底を選択してください。
指数の法則としてすべて正しいものを選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$b^m + b^n$ を一つの累乗に組み合わせることはできません——法則は掛け算や割り算に適用され、足し算には適用されません。残りの3つは正しいです。
この法則は掛け算や割り算におけるの演算には適用されますが、足し算には適用されません。$b^m + b^n$ は $b^{m+n}$ に** simplify しません** — これは古典的な誤りです。指数を組み合わせられるのは、冪同士が掛け算または割り算の場合に限られます。
$\dfrac{2^{x+3}}{2^x}$ を整理せよ。
- 商の法則：指数を引く → $2^{(x+3) - x} = 2^3$。
- よって全式は定数 $2^3 = 8$ に等しい。
- $2^x$ が約分されるのは、両方の項が共通の底 $2$ を持つためです。
指数の法則を用いることで、同じ底を持つ冪の並べ替えが可能になります。積の法則では指数を加え、商の法則では指数を引き、幂の法則では指数を掛け合わせます。シフト $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ は定数倍に変換され、共通の底への書き換えにより2つの式が等価であることが示されます。