| English | 意味 |
|---|---|
| base/beɪs/ | 底数 |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 指数関数 |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 指数関数的増加 |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数関数的減少 |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | 水平漸近線 |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | 初期値 |
The base decides everything
- Put the variable up in the exponent and a whole new kind of function appears.
- $2^x$ explodes upward; $0.5^x$ melts toward zero.
- One small number — the base — flips growth into decay.
- These exponential functions model populations, money, medicine, and radioactive decay.
The shape of an exponential
- An exponential function 指数函数 is $f(x) = a\,b^x$, with base $b > 0$ and $b \neq 1$.
- The variable $x$ is the exponent; the base $b$ is fixed.
- The coefficient $a$ is the output when $x = 0$, since $b^0 = 1$.
- This is completely different from $x^2$, where the variable is the base.
指数関数は次のような形です……
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
変数は固定された底 $b$ の上にある指数に位置しています——これが多項式ではなく指数関数である理由です。
Growth versus decay
- If $b > 1$, each step multiplies by more than one: exponential growth 指数增长.
- If $0 < b < 1$, each step multiplies by less than one: exponential decay 指数衰减.
- The base 底数 alone decides which way the curve goes.
- Growth curves sweep upward; decay curves fall toward the axis.
底を1より大きくする Growth と Decay を切り替えます
y = a·bˣ
成長させるには b > 1 に保ち、減少させるには b < 1 にします。曲線はx軸に触れないことに注意してください——これが漸近線です。
$f(x) = a\,b^x$ が $a > 0$ の場合、この関数は……のとき減衰を示します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$0$ と $1$ の間の底は、各ステップで出力を縮小させます——指数減衰。$1$ より大きい底は成長させます。
Domain, range, and asymptote
- The domain is all real numbers — you can raise a base to any power.
- With $a > 0$ the range is $y > 0$: the output is always positive.
- The graph has a horizontal asymptote 水平渐近线 at $y = 0$, which it approaches but never touches.
- On the decay side it flattens toward the axis; on the growth side it soars.
$f(x) = a\,b^x$ のグラフには、$y = 0$ で交わらない水平な ____ があります。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
出力は $0$ に無限に近づきますが、決して到達せず、水平漸近線 $y = 0$ を形成します。
$f(x) = a\,b^x$ （$a>0,\ b>1$ を持つ）に関するすべての正しい文を選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$a > 0$ の場合、出力は常に正なので、負にはなりません。残りの3つは正しいです。
Reading a and b in context
- The coefficient $a$ is the initial value 初始值 — the amount at time zero.
- The base $b$ is the per-step multiplier: $b = 1.08$ means $8\%$ growth each period.
- A base of $0.9$ means losing $10\%$ each period ($b < 1$, decay).
- Reading these two numbers turns the formula into a real-world story.
$P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$ において、$500$ は何を表していますか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$t = 0$ で $1.08^0 = 1$ 、よって $P = 500$ ：係数 $a$ は初期値であり、$1.08$ は底（8%の成長）です。
Do not confuse $a\,b^x$ (exponential) with $x^b$ (power). In $2^x$ the variable is in the exponent and growth is explosive; in $x^2$ the variable is the base and growth is merely polynomial. The exponent is what makes it exponential.
A $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Initial value $a = 500$ (the balance at $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, so this is growth of $8\%$ per year.
- After $10$ years: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
An exponential function $f(x) = a\,b^x$ puts the variable in the exponent. The base $b$ decides growth ($b>1$) or decay ($0<b<1$); the domain is all reals, the range is $y>0$, and there is a horizontal asymptote at $y=0$. The coefficient $a$ is the initial value.