| English | 意味 |
|---|---|
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | 一次関数 |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 指数関数 |
| proportional/prəˈpɔːʃənl/ | 比例する |
Add versus multiply, again
- Two savings plans: one adds $\$100$ a year, the other grows by $10\%$ a year.
- At first the flat $\$100$ looks better, but the percentage plan quietly pulls ahead.
- These are the two great patterns of change: linear and exponential.
- They are the continuous cousins of arithmetic and geometric sequences.
Arithmetic pairs with linear
- An arithmetic sequence adds a constant; a linear function 线性函数 does the same for every input.
- Over each equal step in $x$, a line adds the same amount to $y$ — its constant slope.
- Plot the arithmetic terms and they land right on a straight line.
- Steady addition is the fingerprint of linear change.
等しい入力区間において、線形関数は…によって変化する
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
直線は一定の傾きを持つため、$x$での等しいステップは$y$へ同じ量を足す——等差数列と同じである。
Geometric pairs with exponential
- A geometric sequence multiplies by a constant; an exponential function 指数函数 does the same continuously.
- Over each equal step in $x$, an exponential multiplies $y$ by the same factor.
- So the outputs form a geometric sequence: $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- Steady multiplication is the fingerprint of exponential change.
指数関数が直線を追い越す様子を見る
y = a·bˣ
底bを1より大きくすると、曲線は各ステップで倍増し、すぐに直線を離れる。bを1より小さくすれば減衰となる。
等しい入力区間において、指数関数は…によって変化する
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
指数関数は、等しいステップごとに同じ係数で倍増します——これは等比数列の連続版です。
Proportional change
- Exponential growth is proportional 成比例 change: each increase is a percentage of the current amount.
- Grow $10\%$ a year and the yearly gain gets bigger as the total gets bigger.
- Linear growth adds the same absolute amount regardless of the current size.
- "Percentage per period" always signals an exponential, never a line.
指数変化は____変化です：増加量は現在の量の一定の百分率です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
比例変化とは、各ステップが現在の値に比例してスケールすることを意味します——「今持っているもの」の10%だけ成長します。
毎年倍になる人口をモデル化するには、指数関数が最適です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
倍加とは、毎年2倍することです——等しい間隔で一定の係数を保つことは、指数成長の兆候です。
正しい記述をすべて select せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
等しい量を足すことは線形であり、指数ではありません。残りの3つは概念の正しい組み合わせです。
Spotting which model
- Look at how the data changes over equal steps: constant difference → linear; constant ratio → exponential.
- A table helps: subtract to test for linear, divide to test for exponential.
- Over a long enough range, exponential growth beats any linear function, no matter how steep.
- Match the model to the pattern of change before you fit numbers.
Do not judge by the first few values. Early on a line can sit above an exponential, so a quick glance misleads. Test the pattern of change — same difference or same ratio — not just the current heights.
A pond's lily pads: $10, 20, 40, 80, \dots$ each day.
- Each day the count is multiplied by $2$ — a constant ratio.
- Constant ratio → an exponential function, not a line.
- Rule: pads $= 10 \cdot 2^{\,d}$, doubling without limit until the pond fills.
An arithmetic sequence pairs with a linear function (adds a constant); a geometric sequence pairs with an exponential function (multiplies by a constant). Exponential growth is proportional — a percentage of the current amount — and it eventually overtakes any line.