| English | 意味 |
|---|---|
| function model/ˈfʌŋkʃn ˈmɒdl/ | 関数モデル |
| regression/rɪˈɡreʃn/ | 回帰 |
| interpolation/ɪnˌtɜːpəˈleɪʃn/ | 内挿 |
| extrapolation/ekˈstræpəleɪʃn/ | 外挿 |
| parameters/pəˈræmɪtəz/ | パラメータ |
From data to a formula
- Selecting a model family is only half the job; now you build the actual rule.
- A good model turns a table of measurements into a formula you can compute with.
- Once you have the formula, you can predict values you never measured.
- This is how precalculus becomes a tool for the real world.
Build the model
- A function model 函数模型 is a rule that captures how one quantity depends on another.
- You can build it from a verbal description, a table of values, or a graph.
- "Costs $\$5$ to start plus $\$2$ per item" becomes $C = 5 + 2n$ straight away.
- Match the family to the shape (Lesson 1.13), then pin down the exact numbers.
Regression finds the best fit
- With many scattered points, regression 回归 finds the best-fit line or curve using technology.
- It chooses the model that comes closest to all the data at once.
- The result gives you the numbers in the model rule, ready to use.
- No single point sits on it perfectly — it captures the overall trend.
モデル直線を読み取れ：変換率と初期値
y = ax + b
ここではaを変換率、bを初期値とする。これらをデータに合わせる調整後、入力値を代入して予測を行う。
回帰によって見つけられるのは…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
回帰は、技術を用いてすべての点に一度に最も近いモデル——最適近似モデル——をフィットさせる。
Interpolate versus extrapolate
- Interpolation 内插 predicts between known data points — usually safe.
- Extrapolation 外推 predicts beyond the data — riskier the further you go.
- A model with no data to lean on can drift far from reality.
- Trust interpolation more than extrapolation, and say which one you used.
既知のデータ点の間にある値を予測することを____と呼ぶ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
内挿はデータ範囲内に留まるため、通常は信頼できる。
データの範囲から大きく外れたところでの予測（外挿）は通常…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
データから遠い場所ではモデルに根拠がないため、外挿が最もリスクの高い予測となる。
Interpret the parameters
- The parameters 参数 (the numbers in the rule) carry real-world meaning.
- In $C = 5 + 2n$, the $5$ is the fixed start-up cost and the $2$ is the cost per item.
- Reading parameters in context turns a formula back into a story about the situation.
- A good answer always says what each number means, with its units.
あるモデルがコスト$= 2x + 1$（単位：千ドル）を与える。$x = 10$のコストを予測せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
代入：$2(10) + 1 = 21$千ドル。モデルに入力値を代入することが適用方法である。
モデルのパラメータ（傾きなど）は実際の状況に基づいて解釈できる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
コスト$= 2x + 1$において、$2$は単価、$1$は固定Startupコスト——実用的な意味を持つ。
モデルを使用する手順を順序立てて答えよ。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
データ→フィット→予測→確認。最終的な確認により、現実から逸脱したモデルを見逃さない。
Extrapolating too far is a classic trap. A linear sales model may predict billions of sales in twenty years — clearly nonsense. Always sanity-check a prediction against the real situation before trusting it.
A phone battery drops from $100\%$ by about $8\%$ per hour.
- Model: $B = 100 - 8h$, a linear function model.
- Interpolate at $h = 3$: $B = 100 - 24 = 76\%$ — inside the data, reliable.
- Extrapolate at $h = 20$: $B = -60\%$ — impossible, so the model has broken down.
Build a function model from words, a table, or a graph, using regression for the best fit. Use it to interpolate (safe, inside the data) or extrapolate (risky, beyond it), interpret its parameters in context, and always check the prediction makes real-world sense.