| English | 意味 |
|---|---|
| translation/trænˈsleɪʃn/ | 平行移動 |
| dilation/daɪˈleɪʃn/ | 伸縮変換 |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 対称移動 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
| range/reɪndʒ/ | 値域 |
Move it, stretch it, flip it
- Learn the shape of one "parent" function, and you get a whole family for free.
- Slide it, stretch it, or flip it, and the equation changes in a predictable way.
- Every transformed graph is just the parent wearing a small edit.
- Master four moves and you can graph thousands of functions by eye.
Translations: sliding the graph
- A translation 平移 slides the graph without changing its shape.
- Adding outside, $f(x) + k$, shifts it vertically by $k$ (up if positive).
- Replacing $x$ with $(x - h)$ inside shifts it horizontally by $h$.
- Outside changes act on the output (up/down); inside changes act on the input (left/right).
関数の外側に定数を加えること、$f(x) + 3$ は、グラフを…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
外側への追加は出力を直接的に変化させるため、すべての点が 3 だけ上昇します—垂直移動（上方）。
Dilations and reflections
- A dilation 伸缩 stretches or squashes the graph: $a\,f(x)$ with $a > 1$ stretches it taller.
- A reflection 反射 flips it: $-f(x)$ mirrors across the x-axis; $f(-x)$ mirrors across the y-axis.
- A fraction like $0.5\,f(x)$ squashes the graph toward the x-axis.
- These reshape the graph; translations only move it.
放物線の伸縮、反転、移動
y = a·f(b(x − h)) + k
y = x² から始めます。負にする反転、大きくする伸縮、c を変更して上下にスライドさせます。
関数全体に $-1$ を掛け、$-f(x)$ を得ることは、x軸に対して ____ を生じます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
外側の負号はすべての出力の符号を反転させ、グラフをx軸に関して鏡像します。
The master rule
- Every transformation fits one template: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = vertical stretch/flip, $b$ = horizontal stretch/flip, $h$ = horizontal shift, $k$ = vertical shift.
- Read the constants straight out of the rule to know exactly what happened.
- Outside the $f$ ($a$ and $k$) is vertical; inside ($b$ and $h$) is horizontal.
$x$ を $(x - 2)$ に置き換えること、関数の内側では、グラフを…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
水平移動は逆に働きます：$(x-2)$ はグラフを右へ 2 だけ移動させ、左へではありません。内側の変化は逆感觉があります。
変換に関する正しい記述をすべて選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
内側に定数を加えると横方向に移動し、縦方向ではない。他の3つは正しい。
各変化を$y = f(x)$への効果と対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
外側＝縦方向（シフト、反射、伸縮）；内側＝横方向（および反転）。
Effect on domain and range
- Vertical moves (stretch, shift, reflect over x-axis) reshape the range 值域.
- Horizontal moves (shift, stretch, reflect over y-axis) reshape the domain 定义域.
- A vertical shift up by $3$ adds $3$ to every output — the range rises by $3$.
- Key features (vertex, intercepts, asymptotes) move with the graph.
垂直伸縮や垂直移動は関数の値域を変化させることがあります。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
垂直変換は出力に作用するため値域を再形成します。水平変換は入力に作用するため、代わりに定義域に影響を与えます。
Horizontal transformations feel backwards. Inside the function, $(x - 2)$ shifts the graph right (not left), and $f(2x)$ compresses it (not stretches). Inside changes always do the opposite of what the sign suggests.
Describe $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ built from the parent $f(x) = x^2$.
- Inside $(x-1)$ → shift right by 1.
- The $-2$ outside → stretch by 2 and reflect across the x-axis (opens downward).
- The $+4$ outside → shift up by 4, putting the vertex at $(1, 4)$.
Every graph is a parent function transformed by $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: a translation (shift), a dilation (stretch), or a reflection (flip). Outside changes are vertical and reshape the range; inside changes are horizontal, reshape the domain, and run backwards.