| English | 意味 |
|---|---|
| equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/ | 等価形式 |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | 因数分解 |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | 零点 |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | 多項式の長除法 |
| binomial theorem/baɪˈnəʊmɪəl ˈθɪərəm/ | 二項定理 |
同じ関数、多くの変装
- 規則 $y = (x+1)(x-3)$ と規則 $y = x^2 - 2x - 3$ は異なって見えます。
- それでもそれらは全く同じ放物線を描きます——それは同一の関数です。
- 一つの式は、見た目も等しく、かつ数学的にも等価な複数の方法で書けます。
- 技能とは、求める特徴を最もよく見せる変装を選ぶことです。
因数分解形と展開形
- 等価な形式とは、すべての入力に対して同じ出力を与える書き換えです。
- 因数分解により $x^2 - 2x - 3$ は $(x+1)(x-3)$ に変わり、展開はその逆を行います。
- 因数分解形はゼロを一目で示します：各因子を零に置く → $x = -1, 3$。
- 展開形は首位項を示し、したがって端の挙動（end behavior）を示します。
一つの放物線、二つの書き方
y = (x+1)(x−3) = x² − 2x − 3
この曲線は y = (x+1)(x−3) であり、また y = x² − 2x − 3 でもあります。因数分解形は零点 −1 と 3 を示し、展開形は最高次項を示します。
特徴を明らかにする形を選択
- ゼロや x 切片を知りたい？ 因数分解形を使用します。
- y 切片を知りたい？ どの形でも構いません——$x = 0$ で評価すればよいです。
- 端の挙動を知りたい？ 展開して首位項を読み取ります。
- 賢明な選択は作業を節約し、どちらの答えも同じです。
多項式のどの形が最も早く零点を明らかにしますか？
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因数分解形 $(x-a)(x-b)$ において、各因子をゼロとおくことで、零点 $a$ と $b$ を即座に読み取れます。
どの形が最も早く極限挙動を明らかにしますか？
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展開形は最高次項を直接示しており、最高次項が極限挙動を支配します。
有理式のための長除法
- 多項式の長除法は、$\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ を商と分母に対する余りの和として書き換えます。
- この形式は水平漸近線またはスラント漸近線を直接明らかにします——それは商です。
- これは $\frac{7}{2}$ を $3 + \frac{1}{2}$ に変換する有理関数のバージョンです。
- 分数の漸近的挙動が必要なら割り算を行ってください。
多項式の長除法は、有理式を商に ____ を分母に乗せた形に書き換えます。
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$\frac{\text{top}}{\text{bottom}} = \text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{bottom}}$ — 漸近的挙動を明らかにする形。
乗数ための二項定理
- $(a+b)^n$ を手計算で展開することは、$n$ が大きくなると遅くなります。
- 二項定理は係数の固定パターンを使って展開のすべての項を与えます。
- 例えば $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の場合。
- コンパクトな冪から展開形への迅速な道筋です。
二項定理は、次のような形の式の展開を助けます…
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二項定理は、$(a+b)^n$ を手計算で展開することなく、展開された項を与えます。
形の選択に関する正しい記述をすべて選択してください。
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等価な形は出力を変化させず、異なる特徴を見やすくするだけです。
二つの形式は共通の定義域上でのみ等価です。$\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ を $x+2$ に約分すると定義域が変わります——形式は穴を除いてどこでも一致します。等価とは「両方が定義されている箇所で同じ出力」を意味し、「どこでも同一」ではありません。
二つの等価な形は、共通定義域内のすべての入力で同じ出力を与えます。
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これが「等価」の意味です—両方が定義されている everywhere で同一の値を持ちます。約分によって隠される可能性のある定義域の欠落にご注意ください。
$x^2 - 5x + 6$ を書き換えてそのゼロを求めてください。
- 因数分解: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$。
- 各因子を零に置く：$x = 2$ と $x = 3$。
- 展開形はこれらを隠していました；因数分解形は瞬時に提示します。
等価な形式とは、出力を変えずに式を書き換えることです。因数分解はゼロを明らかにし、展開は首位項を明らかにし、多項式の長除法は漸近線を明らかにし、二項定理は $(a+b)^n$ を展開します。必要なものを明らかにする形を選んでください。