| English | 意味 |
|---|---|
| hole/həʊl/ | 穴（空点） |
| factor/ˈfæktə/ | 因数 |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 分子 |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母 |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 除去可能な不連続点 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
単一の欠落点
- ほとんどの有理関数のグラフは、垂直漸近線において劇的に振る舞います。
- しかし sometimes、グラフはただ一点が抜けた、極めて普通の直線や曲線であることがあります。
- その小さな欠けは「穴（ホール）」と呼ばれ、見落としやすいものです。
- それは非常に特定の代数的な理由によって生じます。
穴の発生場所
- 因子が分子と分母の両方から約分される場合に穴が生じます。
- $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$ の例では、$(x-1)$ が約分され、$x+2$ が残ります。
- 簡略化されたグラフは滑らかな直線 $y = x + 2$ です。
- しかし $x = 1$ において、元の分数は$\frac{0}{0}$ であり——定義されていない——ため、点が欠けています。
有理関数のグラフに穴が現れるのは…
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上下の共通因子が約分され、簡略化されたグラフは滑らかになりますが、元の値は除外されたままなので、穴が残ります。
穴と垂直漸近線の違い
- どちらも分母のゼロに起因しますが、振る舞いは正反対です。
- 分子と約分される → 取り除ける不連続点: 穴。
- 約分されない → グラフが発散する垂直漸近線。
- したがって、常にまず因数分解して簡略化し、どのゼロが約分されるかを確認してください。
簡略化された関数はただの直線ですが、一点が除かれています
y = ax + b
これは (x²−1)/(x−1) の簡略化された形です。グラフは y = x + 1 という直線ですが、元の関数は x = 1 で定義されないため、そこに穴があります。
穴と垂直漸近線の違いは何ですか？
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約分された因子 → 除去可能な穴；残存した分母のゼロ → 値が爆発する垂直漸近線。
穴の座標を求めるには、共通因子を約分した後、除外された値における ____ 関数を評価します。
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簡略化された関数は、グラフがそこにあったら持っていたyの値を示します—これが穴の高さです。
穴の座標の特定
- 共通因子を約分して簡略化された関数を得ます。
- その 簡略化された 関数に除外された x の値を代入して y の値を求めます。
- ⟨$\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$⟩ における ⟨$x = 1$⟩ ：簡略化すると $x+2$ となり、$y = 3$ を得ます。
- したがって、穴は $(1, 3)$ に位置しています——これはグラフが「通過すべきだった」点です。
因子が約分されても、穴のxの値は依然として定義域から除外されます。
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元の関数はそこに定義されていなかったため、代数的な約分でも点は戻りません—定義域にはまだ欠落があります。
穴に関する正しい記述をすべて選択してください。
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穴は関数を無限大へ送るものではありません—それは漸近線です。他の三つは正しいです。
依然として定義域から除外されている
- 約分は代数的操作であり、欠けた入力を取り戻しません。
- 元の関数はその x において定義されていなかったため、定義域からは外れたままです。
- 簡略化された式は、その一点を除いて元の関数と一致します。
- これが「取り除ける」という意味です：単一の欠けを埋めることはできますが、もともとそこにあったのです。
$\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ を $x+2$ に簡略化するのは $x \neq 1$ に対してのみ有効です。制限条件を決して捨てないでください——二つの式は穴を除いてどこでも等しいため、それを忘れると定義域から一点を失うことになります。
$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ の穴をすべて特定してください。
- 分子を因数分解：$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$、そして $(x-2)$ を約分 → 簡略化式 $x + 2$。
- 除外値 $x = 2$；その地点での簡略化値は $2 + 2 = 4$。
- よって $(2, 4)$ に穴があり、垂直漸近線はありません。
穴とは取り除ける不連続点のことです：分子と分母の両方から因子が約分されます。簡略化して除外された x の値で評価することで見つけられます。x は定義域から外れたまま remains——約分はグラフを修復しますが、点を再び加えることはありません。