| English | 意味 |
|---|---|
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母 |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | 垂直漸近線 |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | 漸近線 |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 分子 |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | 重数 |
ほぼゼロで割る
- $1 \div 0.1 = 10$、次に $1 \div 0.01 = 100$、次に $1 \div 0.001 = 1000$ を試してみましょう。
- 分母がゼロに近づくと、答えは無限大へと爆発します。
- 有理関数は、分母をゼロにする入力の近くでちょうどこの挙動を示します。
- グラフは目に見えない垂直線に沿って急上昇するか、急下降します。
分母がゼロになる場所
- 垂直漸近線とは、グラフが沿って疾走するが、決して越えない垂直線です。
- それは分母をゼロにする各入力に位置します。
- そこで関数は未定義であり、周辺の値は制限なく増加します。
- したがって、垂直漸近線を見つけるには、分母をゼロとおいて解きます。
有理関数の垂直漸近線は…で発生する
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$0$に向かう数で割ると値は爆発的に大きくなる — よって、消去されない分母の零点は垂直漸近線を与える。
…ただし因数が消滅する場合のみ
- もしある値が分子もゼロにするなら、共通因子は約分されます。
- そうすると、その入力は穴であり、漸近線ではありません。
- つまり、垂直漸近線には、約分後も残る分母のゼロが必要です。
- 常に最初に式を簡略化し、残った分母のゼロを読み取ってください。
垂直漸近線を左右にドラッグする
y = a/(x − b) + c
bを変化させると、垂直な切断が分母をゼロにする正確な入力 x = b へと移動する。
ある値が分子と分母の両方をゼロにすると、垂直漸近線ではなく穴が生じる可能性がある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
共通因子が約分されるため、入力値は穴（除去可能な不連続点）を生じます。垂直漸近線は分母がゼロになる点で存在します。
各側の挙動
- 漸近線は極限の線を記述しますが、ここでは極限は無限大です。
- 線のすぐ左では $f(x) \to +\infty$ または $-\infty$；すぐ右では、同じ選択肢が再びあります。
- 極限 notation で表すと、例えば $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ と $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ のようになります。
- 両側に非常に近い値をチェックすることで、各枝がどちらへ向かうかがわかります。
垂直漸近線の近くで、$f(x)$の大きさは ____ に向かって無制限に増大します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$f(x) \to +\infty$ または $-\infty$ のそれぞれの側において、曲線は漸近線に沿って急上昇または急下降します。
重数がパターンを決める
- 分母の零点の重数が、両側のパターンを決定します。
- 奇数重数 → 線の両側で符号が変わる：片方が $+\infty$、もう片方が $-\infty$。
- 偶数重数 → 符号は同じ：両方が同じ方向へ向かう。
- したがって $\frac{1}{x-2}$ (重数1) は反対方向に発散しますが、$\frac{1}{(x-2)^2}$ は両側とも上に向かいます。
分母のゼロの重数が奇数である場合、漸近線の両側は…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
奇数の重数は透過を反転させるため、両側は互いに逆方向に発散します。偶数の重数は両側を同じ方向へ導きます。
垂直漸近線に関する正しい記述をすべて選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
グラフは垂直漸近線を決して横切らず、単にその横を走り抜けます。他の三つは正しいです。
分母の零点が、分子と約分されない限り、垂直漸近線にはなりません。最初に共通因子があるか確認してください —否则、実際には穴である箇所に誤って漸近線を描いてしまいます。
$f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$ の垂直漸近線を見つけてください。
- 分母の零点：$x = 3$ と $x = -1$。
- しかし $x = -1$ も分子をゼロにするため、その因子は約分されます — 穴であり、漸近線ではありません。
- 垂直漸近線は $x = 3$ だけです。
垂直漸近線は、分母の残ったゼロのすべてに存在します——グラフが$\pm\infty$へと向かう地点です。もし因子が分子と約分される場合、その入力は穴（ホール）となります。分母のゼロの重みが、両側が同じ方向へ発散するか、逆方向へ発散するかを決定します。