| English | 意味 |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理関数 |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | 零点 |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 分子 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母 |
分数がゼロになるのはいつか？
- $\frac{0}{5}$、$\frac{5}{5}$、$\frac{5}{0}$ を考えてみましょう：最初のものだけがゼロです。
- 分数がゼロになるのは、分子がゼロのときだけであり、その際、分母もゼロであってはなりません。
- 有理関数も同じ単純なルールに従います。
- したがって、それらの零点を見つけることは、分子だけを見ることを意味します。
零点は分子から来る
- 有理関数が $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$ となる値を求めます。
- その 零点 は、全体が $0$ となる入力値です。
- それは分子が $0$ になるときだけです。
- したがって、分子をゼロとおいて解きます — それがあなたの候補となるx切片です。
分数がゼロとなるのは…のときだけである
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分数は上部がゼロ（かつ下部がゼロではない）ときに限りゼロである。$\frac{0}{5} = 0$だが、$\frac{5}{0}$は未定義である。
……ただし、それが許可されている場合に限る
- 候補となる零点は、その値が関数の定義域に含まれている場合に限り有効です。
- もしそれが分母もゼロにしてしまうなら、関数はその点で未定義となり — ゼロにはなりません。
- したがって、信頼する前に、各分子の零点を分母に対して確認する必要があります。
どこで交わり、どこで途切れるか？
y = a/(x − b) + c
曲線は零点でx軸を横切るが、分母がゼロとなる x = b で途切れる。これらは異なる場所である。
分子の零点は、その値が関数の____に含まれる場合にのみ、関数の実零点である。
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ある値が分子と分母の両方をゼロにすると、それは定義域に含まれないため、穴となり、零点ではない。
除外値は零点ではない
- 分母だけをゼロにする値は定義域から除外されます。
- そこで関数は未定義であり、垂直漸近線または穴を生じさせますが、零点ではありません。
- 除外値をx切片と呼ぶことは決してありません。
- 分子がゼロ → 関数の零点；分母がゼロ → トラブル、零点ではない。
分母をゼロにする値は、関数の零点である。
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分母がゼロの値は定義域から除外される — そこで関数は未定義であり、ゼロではない。
評価による検証
- ゼロを確認するには、値を代入して、関数が実際に $0$ を与えるかどうかチェックします。
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ at $x = 4$: $\frac{0}{5} = 0$。はい — $x = 4$ は零点です。
- 同じテストは除外値を却下します。なぜなら、ゼロで割り算することになるからです。
- 評価は、信頼できる最終的なチェック手段です。
$f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$はいくつの零点を持つか？
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分子は$x = 3$と$x = -2$でゼロになる；分母$x^2+1$は決してゼロにならないので、どちらも有効 — $2$個の零点である。
有理関数の零点に関する正しい記述をすべて選択せよ。
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分母の零点は除外され、x切片ではない。残りの3つは正しい。
分子のゼロ（実際の零点、x切片）と分母のゼロ（除外値）を混同しないでください。これらは正反対です：一方はグラフが軸に触れる場所であり、他方はグラフが破れる場所です。
$f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$ の零点を見つけてください。
- 分子の零点候補：$x = 2$ と $x = -3$。
- しかし $x = 2$ も分母をゼロにするため、除外されます — ゼロではなく、穴です。
- 関数の実際の零点は $x = -3$ だけです。
有理関数の 零点 は、その分子の零点のうち定義域に含まれるものです。分母をゼロにする値は除外され、零点ではありません。常に分子の零点を分母で確認し、評価によって検証してください。