| English | 意味 |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理関数 |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 分子 |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母 |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | 水平漸近線 |
| slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/ | 斜渐近线 |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | 漸近線 |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | 多項式の長除法 |
上部と下部の綱引き
- $\frac{2x^2}{x^2+1}$ のような分数は、上部から多項式が引き、下部からも多項式が引く状態である。
- 原点から遠い場所では、どちらが速く増加するかで値の収束先が決まる。
- その結果、グラフが近づいていくが決して到達しない水平線となることが多い。
- その線を読み取ることで、有理関数の両端を説明できる。
有理関数とは何か
- 有理関数とは、ある多項式を別の多項式で割ったものである：$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$ 。
- 分子は上部、分母は下部である。
- その終端挙動は、2つの次数との競合である。
- 上部と下部の最高乗数を比較すれば、それだけで両端が決まる。
次数を比較する
- 分母が大きい：分数は $0$ へ縮小するため、$y = 0$ は水平漸近線となる。
- 次数が等しい：両端は最高次係数の比に近づく。
- 分子が1つ大きい：両端は斜渐近線（傾いた直線）に従う。
- 分子がさらに大きい：漸近線はない——多項式のように増加する。
水平漸近線を上下にスライドさせる
y = a/(x − b) + c
cを変化させると、グラフ全体が遠方で新しい高さ y = c で水平になる — その水平線が終端挙動である。
分母の次数が分子より大きい場合、終端挙動は…に近づく
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
大きな分母が分子を上回るので、分数は$0$へ縮小する：x軸は水平漸近線となる。
分子と分母の次数が等しい場合、水平漸近線は…である
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$に対して両端は$y = 3/1 = 3$へ近づく — 首位係数の比である。
水平または斜渐近線の直線
- 漸近線とは、グラフが遠方で近づいていくが決して横切らない直線である。
- 次数が等しい → 非ゼロの高さに水平漸近線；分母が勝つ → $y = 0$ に水平漸近線。
- 上部の次数が下部より1つ多い → 水平ではなく斜渐近線となる。
- いずれの場合でも、グラフの両端はその直線上に落ち着く。
分子の次数が分母の次数よりちょうど1つ多い場合、グラフには____漸近線がある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
終端挙動は傾いた直線 — ななめ漸近線 — に従い、これは多項式の長除法によって明らかにされる。
有理関数で可能な終端挙動の結果は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
有理関数は水平漸近線、ななめ漸近線、あるいはどちらでもないことがあり得るが、同じ端に2つあることはない。
長除法で見える化
- 多項式の長除法により、$\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ を 商 $+$ 余り/分母 と書き換えられる。
- 遠方では余りの項が消滅し、商だけが残る。
- 商が定数であればそれが水平漸近線であり、商が直線であればそれが斜渐近線である。
- 極限も同様のことを示している：$\lim_{x\to\infty} f(x)$ はその商に等しい。
多項式の長除法により、有理関数を漸近的挙動を示す形に書き換えることができる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
割ることで「商＋余り/分母」を得る；商が両端が従う直線または曲線である。
最高次項のみが、分子と分母の両方の制御における終端挙動を決定します — 残りの小さな項は原点から遠ざかるにつれて無視されます。したがって、まず次数を比較してください。定数項や中間項に惑わされないでください。
$f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$ の終端挙動を見つけてください。
- 分子と分母のどちらも次数が $2$ です — 同次数の引き分けです。
- 水平漸近線は、最高次係数の比です：$y = \frac{3}{1} = 3$。
- つまり $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$ ：グラフは直線 $y = 3$ に向かって平坦になります。
有理関数において、分子と分母の次数を比較します。分母が大きければ → 水平漸近線 $y = 0$；等しければ → 最高次係数の比における水平漸近線；分子が1つ大きければ → 斜渐近線（スラント漸近線）。多項式の長除法によって、両端が従う直線が明らかになります。