| English | 意味 |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | 末端挙動 |
| degree/dɪˈɡriː/ | 次数 |
| leading coefficient/ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 最高次係数 |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | 最高次項 |
端の faraway で何が起こるのか？
- 中央付近では、多項式は複雑に上下に振動することがある。
- しかし、左へ右へと遠くまでズームアウトすると、その振る舞いは単純になる。
- どの多項式も、両端で最終的に $+\infty$ または $-\infty$ に向かって飛ぶ。
- 規則がどの方向へ向かうかを決定するのは、ただ2つの事実だけである。
言葉での終端挙動
- 終端挙動とは、入力が両側へ無限に発散したときの出力の振る舞いである。
- 左端：$x \to -\infty$ となる際の挙動。右端：$x \to +\infty$ となる際の挙動。
- 各端は次の2つのいずれかしかできない：$+\infty$ へ上昇するか、$-\infty$ へ下降するかである。
- よって、任意の多項式には「終端の形状」の組み合わせが4通りしかない。
終端挙動とは、$f(x)$が$x \to +\infty$および$x \to -\infty$のときどうなるかを説明する。
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その通り — x軸の両極端の遠方における挙動のことである。
次数と最高次係数が決める
- 次数（偶数か奇数か）が、両端が同じ方向を向くか反対方向を向くかを決定する。
- 偶数次数 → 両端は同じ方向を向く。奇数次数 → 両端は反対方向を向く。
- その後、最高次係数（その符号）が上向きか下向きかを決定する。
- 正の最高次係数 → 右端は上昇する；負の最高次係数 → 右端は下降する。
首位係数を反転させると、両端も反転する
y = ax³ + bx² + cx + d
これは奇数次曲線なので、両端は逆向きに向かう。負にして両端の方向を交換させる。
奇数次で正の首位係数を持つ多項式…
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奇数次は両端を逆向きにします；正の首位は右側を上向きにし（したがって左側を下向きにする）。
偶数次で負の首位係数を持つ多項式…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
偶数次は両端を同じ向きにします；負の首位は両端を下向きにする。
多項式の終端挙動を決定する特徴は何か？
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両端に関係するのは次数と首位係数の符号のみであり、定数項や項の数には関係ない。
各多項式のタイプとその終端挙動を対応させよ。
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奇数次 → 両端が逆；偶数次 → 両端が一致。首位の符号が上か下かを選ぶ。
極限記法で表す
- 数学者は極限記法を使って終端挙動を記録する。
- "右側が上昇する"は $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ と書きます。
- "左側が下降する"は $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ と書きます。
- これは各端がどこへ向かうかを正確に言うための簡潔な表現である。
最高次項が勝つ理由
- 原点から遠い場所では、最も高い乗数の項は他のすべての項よりもはるかに速く増加する。
- ⟨$x^3 - 100x$⟩ において、$x = 1000$ のとき、$x^3$ 項は十億ですが、$100x$ 項はただの十万です。
- よって最高次項だけが終端挙動を支配し、他はノイズに過ぎない。
- そのため、小の項を使わずに両端を描くことが可能である。
絶対値の大きい入力に対して、多項式の値を支配するのは____項である。
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最高次の(首位)項が最も速く増加するため、原点から遠い地点では他のすべての項を圧倒する。
終端挙動は次数と最高次係数の符号のみに依存し、定数項や項の数には一切関係しない。中間部分がいかに複雑であっても、5次多項式と $x^5$ は同一の終端挙動を示す。
$f(x) = -2x^4 + x^3 + 5$ の両端を説明せよ。
- 次数 $4$ は偶数 → 両端は同じ方向を向く。
- 最高次係数 $-2$ は負 → 両端は下を向く。
- よって $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$ ：グラフは両側で下降する。
終端挙動は2つの要素によって決まる：次数（偶数→両端一致、奇数→両端反対）と最高次係数の符号（上向きか下向きか）。遠方では最高次項が他のすべての項を圧倒するため、この2点のみが重要となる。