| English | 意味 |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | 次数 |
| real zeros/rɪəl ˈzɪərəʊz/ | 実零点 |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | 重数 |
| factored form/ˈfæktəd fɔːm/ | 因数分解形 |
| complex zeros/ˈkɒmpleks ˈzɪərəʊz/ | 複素零点 |
| conjugate pairs/ˈkɒndʒuːɡeɪt peəz/ | 共役対 |
他の解はどこへ行ったのか？
- $y = x^2 + 1$ のグラフはx軸の上にあるパラボラである。
- 交わらないため、$x^2 + 1 = 0$に対する解がないように見える。
- しかし代数学は、2次の方程式には必ず2つの解があるべきだと主張します。
- 見えない解は複素数の中に隠れています。
実の零点と重複度
- 多項式の実零点とは、そのグラフがx軸と交わるか接する点のx座標です。
- 因数分解形からそのまま読み取ります：$(x-2)(x+3)$ は $2$ と $-3$ でゼロになります。
- $(x-2)^2$ のような重複する因数は、重数が二のゼロを生じます。
- 偶数重 → グラフは接して跳ね返り、奇数重 → 交差します。
x軸を 接する だけの零点（交差しない場合）は偶数の ____ を持ちます。
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偶数の 重数 （例：$(x-3)^2$）は曲線を軸で跳ね返させ、奇数の重数は軸を横切らせます。
グラフが軸と交わらない場合
- いくつかの多項式はx軸に到達せず、そのため次数よりも少ない実零点しか持ちません。
- 「見えない」ゼロは複素ゼロであり、$i = \sqrt{-1}$ を用いて構成された値です。
- これらは解として全く同様に「現実的」ですが、x切片としては表示されません。
x軸と全く交わらない放物線は、いくつの 実零点 を持ちますか？
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x切片がないことは実零点がないことを意味します。しかし、2個 の零点は存在します——それらは複素数です。
複素ゼロはペアで現れる
- 多項式の実係数が$a + bi$ のとき、$a - bi$ もゼロとなります。
- これらの鏡像のペアは共役対と呼ばれます。
- そのため、複素零点は必ず2つずつ、単独では現れません。
- したがって、実多項式の複素ゼロの数は$0, 2, 4, \dots$ 個ですが、奇数个になることはありません。
複素零点とその鏡像パートナー
零点 a + bi をプロットします。実係数の多項式では、共役复数 a − bi （実軸に対する鏡像）もまた零点でなければなりません。
実係数の多項式において、複素零点は常に 共役対 として現れます。
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$a + bi$ が零点であれば、$a - bi$ もまた零点でなければなりません。そのため、複素零点は常に2つずつセットで現れます。
すべてのゼロを数える
- 実数および複素ゼロに重数を含めて数えたとき、次数$n$ の多項式にはちょうど $n$ 個のゼロがあります。
- これは代数学の基本定理であり、例外はありません。
- したがって、三次式は常に$3$ 個のゼロを持ち、四次式は常に$4$ 個持ちます。
- 次数よりも少ないx切片が見える場合、残りは複素数である。
重数を考慮して、次数 4 の多項式は合計いくつの零点を持ちますか？
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次数-$n$ の多項式は、重数を考慮した実零点と複素零点を合わせてちょうど $n$ 個持っています。
三次関数（次数3）はちょうど 1 個の実零点を持ちます。複素（非実）零点は少なくともいくつ必要ですか？
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合計零点 $= 3$ 。$1$ 個が実であるため、残りの $2$ 個は共役複素対となります。
正しい記述をすべて select せよ。
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x切片の欠落は零点の数を減らさない — 欠落した零点は複素数である。他のすべては真である。
"見えない" x切片があるからといって、多項式のゼロ数が少ないことを意味しません。ゼロの総数は必ず次数と同じであり、見えないゼロは単に複素数です。x切片が2つ見えるからといって、ただちに「ゼロが2つ」として四次式を記述しないでください。
$x^2 + 1 = 0$ を解け。
- 並べ替えて：$x^2 = -1$ なので、$x = \pm\sqrt{-1} = \pm i$ 。
- 2つの零点は $i$ と $-i$ ——約束通り、共役な対である。
- 放物線 $y = x^2 + 1$ は軸の上を浮いている。なぜなら、どちらの零点も実数ではないからである。
実零点はx切片であり、重数（偶数・奇数）によって接するか交わるかを決定する。残りの零点は複素零点であり、共役な対として現れる。重数を考慮すると、零点の総数は常に次数と等しい。