| English | 意味 |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 変化率 |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 平均変化率 |
| interval/ˈɪntəvl/ | 区間 |
| slope/sləʊp/ | 傾き |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | 接線 |
| constant/ˈkɒnstənt/ | 定数 |
正確にはどのくらい速いか？
- オドメーターでは答えられない質問に、車のスピードメーターは答えます。「どれだけ進んだか」ではなく、「今現在、どの程度速いか」です。
- 「出力はどれほど速く変化しているか？」が、このコース全体の中心的な問いです。
- その答えは、変化率と呼ばれる数値です。
- この授業では、区間全体での平均的な変化率と、一点での瞬間的な変化率という2つの方法でこれを測定します。
平均変化率
- 区間 $x = a$ から $x = b$ の間で、出力の変化量と入力の変化量を比較します。
- 平均変化率は $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ です。これは「出力の変化量 ÷ 入力の変化量」です。
- これは比であるため、常に単位を伴います：メートル毎秒、ドル毎年、°C毎分などです。
- 言葉での例: 12°C が 4 時間で上昇したなら、平均変化率は 3°C/時間である。
$f$ の区間 $[a, b]$ における平均変化率は…等于…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
出力の変化量 を 入力の増分 で割ったものである — 比率であるため、出力単位あたりの入力量という単位を持つ。
接線の傾きとしての意味
- 2つの端点 $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ直線を引きます。これが接線（secant line） です。
- その傾き（rise ÷ run）はまさに平均変化率そのものです。
- 急な接線 → 速い平均変化；下向きの接線 → 負の変化率。
ランナーの移動距離は $f(t)$ メートルである。$f(2) = 10$ で $f(5) = 40$ のとき、$[2, 5]$ 間の平均速度は？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平均速度 $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ m/s — その区間における割線の傾きである。
グラフ上で、$[a, b]$ における平均変化率は、その曲線の傾きです。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
割線 は $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ — その傾きは平均変化率と正確に一致する。
一点での変化率
- 接線には2点が必要です。ただ1点での変化率を得るには、区間を小さくします。
- 点の周囲で progressively に小さな区間における平均変化率を取ります。
- 区間がゼロに近づくと、接線は接線（tangent line） へと傾き、その傾きがその正確な点での変化率となります。
- この「一瞬の変化率」という考え方が、来年の微分計算への道を開きます。
区間を縮小して割線接線を接線にする
f(x) = 0.5x²
点をドラッグして一点における傾きを読む — これは区間がゼロに収束する際の平均変化率の極限である。
一点における変化率を推定するには、その周囲の非常に ____ な区間で平均変化率を取る。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
区間がゼロに収まるにつれ、割線の傾きは正確な一点の傾きに近づく。
符号、大きさ、単位
- 正の変化率は出力が増加していることを示し、負の変化率は減少していることを示し、ゼロは変化がないことを示します。
- 符号を無視して大きな数値ほど、変化が速いことを意味します。
- 直線の場合、変化率はどこでも同じであり、それは一定です。
- 常に単位を明記してください。単位のない変化率の答は半分の答えに過ぎません。
負の 平均変化率は、区間内で出力が減少したことを意味する。
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負の比率とは、出力が開始時より低くなったことを意味します——関数は区間全体で平均的に減少しました。
平均変化率に関する真の記述をすべて選択してください。
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正、負、またはゼロになり得ます。それ以外の記述はすべて正しいです：これは傾きであり、単位を持ち、短い区間で点の変化率に近似します。
平均変化率は2つの端点のみに関するものであり、その間のことは無視されます。登り followed by 下りをして同じ高さに戻ったハイカーにとって、移動していた間中であっても平均変化率はゼロです。
車が 1:00 と 3:00 の間に 150 km 移動しました。
- 平均速度は $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ km/h です。
- これは、その2時間の距離-時間グラフにおける接線の傾きです。
- 車の実際の速度は常に変化しており、75 km/h はあくまで平均です。
$[a, b]$ における平均変化率は $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ であり、これは端点を結ぶ接線の傾きです。区間をゼロに近づけると、それは一点での変化率になります。常に単位を記載してください。