| English | 意味 |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | 入力 |
| output/ˈaʊtpʊt/ | 出力 |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | 増加する |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | 減少する |
| constant/ˈkɒnstənt/ | 定数 |
| interval/ˈɪntəvl/ | 区間 |
| concavity/kənˈkævɪti/ | 凹凸性 |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 変化率 |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | 下に凸 |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | 上に凸 |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | 極点 |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | 局所最大値 |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | 局所最小値 |
水が上昇する様子を見る
- ガラスに一定の速度で水を注ぎ、水位の上昇を見る。
- 直筒のガラスでは水位は一定に上昇するが、曲線の花瓶では速くなったり遅くなったりする。
- 注ぐ水量と高さという2つの量が、連動して変化する。
- 予備微分法は、ある量が変わるときにもう一方がどのように変化するかを正確に記述することから始まる。
関数は入力と出力を結びつける
- 関数は入力（$x$の値）を受け取り、ちょうど1つの出力（（$f(x)$）と表記）を返す。
- 入力が変化すると、出力もそれ伴随着して変化する——これが連動して変化することである。
- （$f(2)$）は「入力が（$2$）のときの出力」を意味する。
- よって、関数の物語全体は一つの質問に集約される：（$x$）が動くとき、（$f(x)$）はどこへ向かうか？
増加、減少、または一定
- 区間（入力の軸の一部）を選び、左から右へ出力を追跡する。
- 入力が右に進むにつれて出力が上昇する箇所は、関数が増加している。
- 入力が右に進むにつれて出力が下降する箇所は、関数が減少している。
- 出力が水平に留まる箇所は、関数が一定である。
- グラフから直接読み取れる：上り坂は増加、下り坂は減少。
関数が区間で 増加 しているとは…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
増加は 方向 に関するものであり、大きさではない：入力側で右に進むと出力は上昇する。値がまだ負であっても増加していることがある。
グラフが区間全体で完全に平坦（水平）であれば、関数はその区間で 一定 である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平坦なグラフは、入力が変化しても出力が変わらないことを意味する — これが一定の定義である。
凹性：変化が加速しているのか減速しているのか？
- 曲線が増加し続けている間でも、その変化率（出力の変化の速さ）自体が変化する可能性がある。
- 凹性は曲線がどちらに湾曲しているかを表す。
- 上に凸（凹関数）—— 曲線がカップのように上方に湾曲しており、変化率は増加する。
- 下に凸（凸関数）—— 曲線がドームのように下方に湾曲しており、変化率は減少する。
- 再び曲線の花瓶：細くなる箇所では高さが急速に上昇する（上に凸）。
曲線が 上に凸（凹） であることを示すことは…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
上に凸（凹）はカップのような形をしている： 変化率 そのものが上昇している。曲線が下降していても上に凸（凹）可以是 — 滑り台が底で平らになるようなイメージだ。
転移点：局所最大値と最小値
- 曲線が増加をやめて減少を始める地点は、局所最大値（山）に達する。
- 曲線が減少をやめて増加を始める地点は、局所最小値（谷）に達する。
- 各山や谷は転移点である。
- 「局所的」は、グラフ全体での最高・最低ではなく、周辺での最高・最低を意味する。
接線の傾きこそが変化率である
f(x) = x³ − 3x
点をドラッグして接線の傾きを読む — 曲線が上昇する部分は正、下降する部分は負、極点ではゼロである。
グラフが増加から減少に転じる点は局所的な ____ である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
局所的最大値 では曲線が上り坂から下り坂に変わる — 近傍の点と比較して最も高い山頂である。
図中の曲線を見よ。すべて 真の記述を選択せよ。
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曲線は上昇して山頂で転がり、谷に達した後、再び上昇する。全体として上に凸（凹）ではなく — 山頂付近では下に凹、谷付近では上に凸（凹）である。
"増加"と「上に凸」は異なる概念である。 増加は出力が上昇することに関係し、上に凸は変化率が上昇することに関係する。 曲線は減少しながらも上に凸である可以同时がある —— 下降しつつあるが、下降するにつれて平坦になっていく場合である。
2つの出力を比較する
- 関数を2つの入力（$a$と$b$）で比較するには、それに対応する出力（$f(a)$と$f(b)$）を比較する。
- （$b > a$）かつ（$f(b) > f(a)$）の場合、入力の増加に伴い出力も増えた。
- （$a$）から（$b$）への出力の総変化量は、単に（$f(b) - f(a)$）である。
- 関数が元の値に戻った場合、途中上昇したり下降したりしたとしても、総変化量はゼロである。
関数に $f(2) = 5$ と $f(6) = 5$ があります。$x = 2$ から $x = 6$ への出力の正味の変化量は何ですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
総変化量 $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$ 。出力は最終的に初期値に戻った — 途中では上昇や下降があったとしても。
各用語を説明する内容に結びつけよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
増加・減少は 出力の方向 を表し、凹凸は 変化率そのもの の変化を表す；局所的最大値は方向が反転する点である。
紅茶の湯冷めは、90°Cから室温まで下がる。
- 温度（出力）は減少し続けており、一度も上昇することはありません。
- しかし、最初は急激に低下し、その後ゆっくりと下がります：曲線は下に凸です。
- その間に局所極大値や局所極小値はなく、方向が逆转することはありません。
関数の振る舞いはグラフから読み取ります。区間における増加・減少、変化の速さが加速しているか減速しているかを示す凹凸性、そして方向が逆转する点である転移点（局所極大・極小） を確認します。