| English | 意味 |
|---|---|
| Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/ | ガウスの法則 |
| permittivity/ˌpɜːmɪˈtɪvəti/ | 誘電率 |
| Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/ | ガウス面 |
Turn a nasty integral into one line
- Finding $E$ from a big charged object by integrating is hard work.
- Gauss's law 高斯定律 offers a shortcut — when the shape is symmetric.
- It links the flux through a closed surface to the charge trapped inside.
- With the right surface, you read $E$ off in a single step.
The law itself
- For any closed surface: $\oint \vec E \cdot d\vec A = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$.
- The left side is the total flux; the right is the enclosed charge over $\varepsilon_0$.
- $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ is the permittivity 介电常数 of free space.
- Only charge inside the surface counts.
点電荷からのフラックス
点電荷からの電場線が広がり、周囲の任意の表面を通過する様子を見る。
ガウスの法則において、閉曲面を通じるフラックスは:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$.
Outside charge cancels
- A charge outside the surface sends as much flux in as out.
- So its net contribution to the closed-surface flux is zero.
- This is why only $Q_{\text{enc}}$ appears on the right.
- The field on the surface still feels outside charge — but the flux doesn't.
閉曲面の外にある電荷は、その表面を通じる正味フラックスをゼロにする。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
外側の電荷は、入ってくるフラックスと出ていくフラックスが等しくなるため、正味はゼロとなる。
ある表面が $+6\ \text{nC}$ と $-2\ \text{nC}$ を内包している。この表面のフラックスを生み出す正味電荷（nC単位）はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
内包された電荷のみが関与する: $6 + (-2) = 4\ \text{nC}$ 。
Pick a surface that matches the symmetry
- Sphere of charge → use a spherical Gaussian surface 高斯面.
- Line of charge → use a coaxial cylinder.
- Plane of charge → use a box (pillbox) through it.
- Choose it so $E$ is constant and either along or across each patch.
積分を行う imaginary（架空の）閉曲面を ____ 面という。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
対称性に合わせて選ばれたガウス面である。
ガウスの法則に関する 正しい 記述をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
常に成立し、対称性があるときに最適であり、内包された電荷によって駆動される — 閉曲面の上での話である。
Powerful results, fast
- Outside a charged sphere: $E = \dfrac{kQ}{r^2}$ — exactly like a point charge.
- Around an infinite line: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
- Near an infinite plane: $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (constant).
- Each drops out of Gauss's law in a couple of lines.
電荷 $Q$ の一様に帯電した球体の外部では、場は:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
ガウスの法則により外部では $E = kQ/r^2$ が得られ、点電荷と同一となる。
Find $E$ a distance $r$ outside a sphere holding charge $Q$.
- A spherical Gaussian surface gives $\oint E\,dA = E(4\pi r^2)$.
- Set it equal to $Q/\varepsilon_0$: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2}$.
Gauss's law is always true, but only useful when symmetry makes $E$ constant on your surface. For a lopsided charge you can still write $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$, but you can't pull $E$ out of the integral.
Gauss's law says $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — flux through a closed surface depends only on the enclosed charge. Choose a Gaussian surface matching the symmetry (sphere, cylinder, plane) to read $E$ off in one step.