| English | 意味 |
|---|---|
| rotational inertia/rəʊˈteɪʃənl ɪˈnɜːʃə/ | 回転慣性 |
アームを縮めることでスケーターが速く回転する
- フィギュアスケーターは腕を広げてゆっくり回転し、その後腕を収めて素早い回転に変わります。
- 彼女は额外的な力を加えませんでしたが、質量を 軸に近づけました。
- 物が回転しやすいかどうかは、単に量だけでなく、質量がどこにあるか によります。
- この「回転的な頑固さ」は 回転慣性 と呼ばれます。
質量分布が全てである
- 回転慣性 （慣性モーメント）$I$ は角加速度に対する抵抗を表します。
- 点質量の場合：$I = \sum m r^2$ — 各質量要素はその距離の 二乗 に比例して寄与します。
- 軸から遠い質量は、近い質量よりもはるかに多く寄与します。
- 単位は $\text{kg}\cdot\text{m}^2$ です。
2つの $0.5\ \text{kg}$ の球が軽い棒上で軸から $2\ \text{m}$ 離れて置かれている。回慣性は $\text{kg}\cdot\text{m}^2$ で幾らか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$I = \sum mr^2 = 2 \times (0.5 \times 2^2) = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
回慣性に依存するのは：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$I = \sum mr^2$ は質量と軸からの距離（二乗）の両方に依存する。
質点に対して、回慣性は $m r^{\_\_}$ の総和である。累乗の指数を埋めよ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$I = \sum m r^2$ — 距離は二乗で表れる。
同じ2つの $0.5\ \text{kg}$ の球を軸から $1\ \text{m}$ 離れた位置に移動させた。新しい回慣性は $\text{kg}\cdot\text{m}^2$ で幾らか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$I = 2 \times (0.5 \times 1^2) = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ — $r$を半分にして、$I$分の一にする。
形状が重要なので標準公式がある
- 同じ質量であっても、形状や軸によって非常に異なる $I$ になり得ます。
- 中空リング（質量が全部リムにある）は、同じ質量の実心ディスクよりも大きい $I$ を持ちます。
- 標準形状には既知の公式があり、例として実心ディスクは $I = \tfrac12 M R^2$ です。
- $r^2$ の重み付けが、中空の物体が回すのに「重い」と感じる理由です。
2つの物体は質量が等しい。すべて適切な方法を選択して、片方を他方よりも回転しにくくせよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
質量を外側（縁、中空リング）へ移動させると $I$ が増加する。色には影響がない。
スケーターに戻って
- 腕を引き寄せると $r$ が縮小するため、$I$ は急激に低下する（$r^2$ のため）。
- 角運動量が保存される（次のトピック）場合、より小さい $I$ はより大きな $\omega$ を意味します — 彼女は加速します。
- ダイバーや体操選手も同様の理由でタック姿势をとります：小さな $I$ 、高速回転。
- また腕を広げると、回転は再び遅くなります。
回慣性は大きい还是小さいか？
回慣性は質量が軸からどれだけ離れているかに依存する。各ケースを分類せよ。
スケート選手が腕を内側に引くと回惯性が減少するため、回転速度が増加する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
小さな $r$ は小さな $I$ を意味し、角運動量が保存されるため、$\omega$ は上昇する。
回転慣性は単に質量だけではありません — 質量の配置方法 に依存します。同じ質量の2つの物体は、回すのに全く異なる可能性があります。 $r^2$ のため、リムにある質量は軸に近い質量よりもはるかに重要です。
2つの $0.5\ \text{kg}$ のボールが軽い棒の上に乗っており、それぞれ軸から $2\ \text{m}$ の位置にあります。
- $I = \sum m r^2 = 2 \times (0.5 \times 2^2) = 2 \times 2 = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
それらを $1\ \text{m}$ に動かせば、$I$ は $2 \times (0.5 \times 1) = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ に減少する — 四分の一つになる。
回転慣性 $I$ は角加速度に対する抵抗です： $I = \sum mr^2$。質量の量だけでなく、どこに配置されているか（距離の二乗）によって決まります。したがって、スケート選手が腕を内側に引き寄せると $I$ が小さくなり、速く回転します。単位： $\text{kg}\cdot\text{m}^2$。