| English | 意味 |
|---|---|
| Taylor series/ˈteɪlə ˈsɪəriːz/ | テイラー級数 |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | マクローリン級数 |
終わりのない多項式
- テーラー多項式は次数**$n$で止まる。これを永遠に延長すればテーラー級数**が得られる。
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — 無限版であり、収束する領域で**$f$**を正確に表す。
- 中心が**$0$であれば、それはマクローリン級数**である。
- これらのいくつかは暗唱しておく価値がある。
中心$0$でのテイラー級数は____級数と呼ばれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
マクローリン = $0$を中心とするテイラー。
必須のマクローリン級数
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$（幾何級数、$|x|<1$）。
cos x の級数から
$\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — 偶数次、交互符号、階乗分母。
$e^x$のマクローリン級数は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
すべての累乗、係数が$\tfrac1{n!}$、交互符号なし。
$\dfrac{1}{1-x}$（$|x|<1$付き）の級数は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
幾何級数$1+x+x^2+\cdots$。
一から作る
- **$f(a),f'(a),f''(a),\dots$を計算して$\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$**に項ごとに代入する。
- 導関数のパターンを見つけ、一般の**$n$**項を書く。
- 上記の既知の級数は通常一度導出された後再利用される — memorize them（暗記する）。
- 一般項があることで初めて級数となり、単なる数個の項ではない。
$\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$ を用いて $\cos(0.2)$ を推定せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$1-\tfrac{0.04}{2}=0.98$.
**$\sin$と$\cos$**は親族である
- $\sin x$は奇数次幂を用い、$\cos x$は偶数次幂を用いていることに注目し、どちらも符号が交互に変化している。
- $e^x$はすべての次数を含み、係数がすべて正である$\tfrac1{n!}$。
- これらのパターンにより、項を素早く書き出し、問題が求めている級数を特定できる。
- 親族を認識することは試験の半分の勝機である。
$\sin x$のマクローリン級数は...を使用する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$（奇数、交互）。
これらの標準的な級数の分母は階乗である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
第$n$項には$n!$が含まれる（または$(2n)!$、$(2n+1)!$）。
階乗と符号のパターンを明確に保つ：$\sin x$は奇数次幂 $x^{2n+1}$（$x$から始まり）、$\cos x$は偶数次幂 $x^{2n}$（$1$から始まり）、どちらも交互である；**$e^x$はすべての次数を含むが、交替なしである。奇数/偶数を混同したり、$(-1)^n$**を忘れたりすることが典型的なミスである。
$\cos x$のマクローリン級数を書き出し、2項まで用いて$\cos(0.2)$を近似せよ。
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- 点$x=0.2$における2つの項：$1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$。
- 真実の$\cos 0.2\approx0.980$。✓
テイラー級数は無限 $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ です。中心が $0$ のとき、それはマクローリン級数と呼ばれます。 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\frac{1}{1-x}$ を暗記してください。階乗と符号のパターンに注意してください： $\sin$ は奇数次の項、 $\cos$ は偶数次の項であり、どちらも符号が交互になります。一方、 $e^x$ はすべての次数の項を含み、符号は交互しません。