| English | 意味 |
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| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 逆三角関数 |
平方根を隠している導関数
- 逆三角関数 — $\arcsin$ 、$\arctan$ 、およびそれらに類するもの — は、sin, tan などを逆操作します。
- それらの導関数は驚くほど代数的です：三角関数は一切含まれず、冪とルートだけがあります。
- 2つはそのまま暗記する価値があり、残りは同じパターンに従います。
- これらの逆三角関数は後で積分に登場するため、その導関数を知っておくと二重に得をするのです。
必ず知っておくべき2つ
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- 注意：$\arcsin$ は分母にルートを持ちますが、$\arctan$ はきれいな$1+x^2$ です。
- 両方とも定義域上で常に正です — これらの逆関数は単調増加です。
逆正接の緩やかな傾き
y = a·tanh(bx) （逆正接のような形状）
$\arctan x$は$0$で最も急になり（傾き$1$）、平坦になる — 導関数$\tfrac{1}{1+x^2}$は$0$へと減少する。
$\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ は何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\arcsin$は根号形式$\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$を持つ。
$\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$ は何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\arctan$は簡潔な形式$\tfrac{1}{1+x^2}$を持つ（根号なし）。
家族の残り
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — $\arcsin$ と同じですが負です。
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — $\arctan$ の負のものです。
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- "co-" 逆関数はマイナスを含み、通常の三角関数のパターンを反映しています。
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$は$\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$の____である（絶対値は同じだが符号が反対）。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\arccos$にマイナス符が含まれる。
平方根を含む反三角関数の導関数をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\arcsin$、$\arccos$、arcsecは根号を含み、$\arctan$は$\tfrac{1}{1+x^2}$であり根号を持たない。
連鎖して適用する
- 連鎖則を用いて、$x$ を内部関数 $u$ で置き換え、$u'$ を掛け合わせます。
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- どの連鎖則の問題でも同じ手順です：外側の式、次に$\times\,u'$ 。
$y=\arctan(3x)$の場合、$y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$。$y'$を$x=0$で求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x=0$において：$\tfrac{3}{1+0}=3$。
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$（内部の因数なし）。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
合成関数の微分法により内側の導関数$3$が加わる：$\tfrac{3}{1+9x^2}$。
2つの形を混同しないでください：$\arcsin$ は$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ （ルート付き）を与えますが、$\arctan$ は$\frac{1}{1+x^2}$ （ルートなし）を与えます。そして連鎖則を使う際は、内部の導関数を決して省略してはいけません：$\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$ であり、$\frac{1}{1+9x^2}$ ではありません。
関数 $y=\arctan(x^2)$ を微分してください。
- 外側：$\arctan(u)$ に$u=x^2$ を代入し、$\dfrac{1}{1+u^2}$ を得る。
- 内側の導関数：$u'=2x$ 。
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
$\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ と$\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$ を暗記してください。"co-" 逆関数（$\arccos$ , arccot）にはマイナスがつきます。合成された逆三角関数に対しては連鎖則を適用し — 標準的な式に内部の導関数$u'$ を掛け合わせます。