| English | 意味 |
|---|---|
| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | 水平断面 |
上下ではなく左右にスライスする
- 垂直な帯では扱いにくい領域があります。例えば、左右に開く放物線などです。
- 修正法：水平な帯状に切り取り、$y$ を変数として$x$ の代わりに積分する。
- 最後の授業の内容が90度回転します：曲線は$y$の関数となり、右から左を引きます。
- 同じ考え方を回転させたもの：水平な隙間の幅を加算します。
右から左を引く
- 境界線を$y$の関数として書きます：$x=f(y)$（最も右側）と$x=g(y)$（最も左側）。
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- 各水平なスライスには、幅$f(y)-g(y)$と高さ$dy$があります。
- 幅が正の値になるよう、最も右側から最も左側を引きます。
A sideways-opening parabola
y = ax² + bx + c
When curves open sideways, horizontal slices (right minus left, integrated in $y$) are the clean choice.
With horizontal slices, the area is $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ where...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Horizontal strips: right curve minus left curve.
境界値は現在$y$-値である
- 限界値$c$と$d$は、領域の**最低および最高$y$**であり、通常は曲線の交点における$y$-値です。
- その境界値に対して、$f(y)=g(y)$（$y$で表した形）を解きます。
- その間に、どの曲線がより右側にあるかを確認します。
- したがって、$c$から$d$まで右から左の幅を積分します。
For a $dy$ integral, the limits of integration are...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Integrating in $y$ means $y$-limits.
Where do $x=y^2$ and $x=y+2$ intersect (in $y$)?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
$dy$を選ぶべき時 vs $dx$
- 曲線が自然に$x=$($y$の関数)である場合や、垂直なスライスで分割が必要になる場合に水平なスライスを選択してください。
- 左右が異なる曲線で、上下が単一还有点で囲まれた領域は、$dy$の状況です。
- 垂直なスライスで「上」の曲線が途中で変わる場合は、水平なスライスで分割を避けることができます。
- 各スライスが一つの滑らかな曲線から別の滑らかな曲線まで span する向きを選んでください。
The area bounded by $x=y^2$ and $x=y+2$ is $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Compute it (a decimal).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
It evaluates to $\tfrac92=4.5$.
For a horizontal-slice integral, you should write each boundary as $x$ in terms of $y$.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The strips run horizontally, so express $x$ as a function of $y$.
Horizontal slices are preferable when...
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Sideways curves suit $dy$ integration.
水平なスライスを使用する場合、$y$で右から左を引いて積分し、限界値は$y$-値（$x$-値ではありません）となります。これらを混同すると（$x$-限界値を使って$dy$積分を行う、あるいは横方向で上から下を引く）、誤った答えになります。まず各境界曲線を$x$（$y$で表した形）に書き換えてください。
$x=y^2$と$x=y+2$で囲まれた面積を求めよ。
- 交点（$y$で）：$y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$。
- ⟨$(-1,2)$⟩において、直線$x=y+2$の方が右側にある（$y=0$でテスト：$2>0$）。
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
$y$の関数として与えられた曲線には、水平なスライスを使用します：$A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$、交点からの$y$-限界値を使って最も右側から最も左側を引くことで積分します。スライスが一つから別の曲線へ滑らかに延びて分割されずに済むように、$dy$を選択してください。