| English | 意味 |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | 末端挙動 |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | 無限における極限 |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | 水平漸近線 |
遠くを見てみよう：何が起こるのか？
- $x\to c$ の代わりに、$x$ が $+\infty$ または $-\infty$ へと発散する場合を考える。
- これは関数の終端挙動——左端と右端における形状——を説明する。
- $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ と書く：$x$ が極めて大きくなると、$f$ は $L$ へ落ち着いていく。
- これらは無限大における極限であり、水平方向の傾向を示している。
最高次の項の競争
- 有理関数において、終端挙動は分子と分母の次数の競合である。
- 分母の勝利（分母の次数が高い）：$f\to0$ 。例 $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$ 。
- 引き分け（次数が等しい）：$f\to$ （首位係数の比）。例 $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$ 。
- 分子の勝利（分子の次数が高い）：$f\to\pm\infty$ ——水平な漸近線はない（増大するため）。
遠方で平坦になる曲線
y = a / (x − b) + d
$x$ を端へ移動させる — 逆数型の曲線は $x\to\pm\infty$ において水平漸近線へ平坦化していく。
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$ は何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分母の次数が高いので、分数は $0$ へ収縮する。
水平漸近線が $y=0$ である有理関数をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分母の次数が高い → $y=0$ 。第三のケースでは次数が同じになるため、代わりに $y=3$ となります。
水平な漸近線
- $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ （有限値）であれば、直線 $y=L$ は水平な漸近線である。
- グラフは平坦になり、原点から離れた位置で $y=L$ に沿って伸びる。
- 技：分母の $x$ の最高乗の項で全項を割り、$x\to\infty$ を送る（各 $\tfrac1{x^n}\to0$ に対して）。
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$を評価します。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
次数が等しい → 最高次係数の比 $\frac31=3$ 。
無限での有限極限 $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ は、____ 漸近線 $y=L$ を与える。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
グラフは $y=L$ へ平坦化していく。
両端は異なる可能性がある
- 関数は $x\to+\infty$ に近づくときある値に収束し、$x\to-\infty$ に近づくとき異なる値に収束することがある。
- 右側が $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ 、左側が $\to-\tfrac{\pi}{2}$ ——2本の水平な漸近線がある。
- したがって、常に両方の方向を確認してください。対称性があると仮定しないでください。
- 垂直漸近線（真ん中の切断）とは異なり、水平漸近線は遠方での傾向に関するものであり、曲線がそれと交差することさえあります。
グラフは中央で水平漸近線を横切ることができ、両端ではそれに近づける。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
水平漸近線は遠方の振る舞いのみを表す；中央での交差は許容される。
$\arctan x$ について、2つの極限 $\lim_{x\to+\infty}$ と $\lim_{x\to-\infty}$ は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
両端は異なり得る — ここでは2つの水平漸近線がある。
垂直漸近線と水平漸近線は全く異なるものです。垂直（$x=c$）: 特定の入力値において出力が増大する — グラフは決してこれと交差しません。水平（$y=L$）: $x\to\pm\infty$ における遠方での傾向 — グラフは中央で交差しても、端ではそれに近づきます。
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ と水平漸近線を見つけてください。
- 次数が等しい場合（どちらも$2$）、$x^2$ で割ります：$\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$。
- ⟨$x\to\infty$⟩ として、$\tfrac3x$ 項と$\tfrac7{x^2}$ 項は$\to0$。
- 極限が$=\dfrac{2}{5}$であるため、$y=\tfrac25$ が水平漸近線です。
無限大での極限 は 終端の挙動 を記述します。有理関数の場合: 分母が優勢 → $0$；次数が等しい → 最高次係数の比；分子が優勢 → $\pm\infty$（水平漸近線なし）。有限の$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ は 水平漸近線 $y=L$ を与え、両端の挙動が異なることがあります。