| English | 意味 |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | 挟み撃ちの定理 |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | 不等式 |
Trap a wild function between two tame ones
- Some limits resist substitution and algebra — like $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, which wiggles infinitely fast.
- The escape: trap the messy function between two friendlier ones.
- If the upper and lower "walls" both head to the same height, the trapped function has nowhere else to go.
- This is the Squeeze Theorem 夹逼定理 (also called the Sandwich Theorem).
等しい極限を持つ2つの関数の間に関数を挟み込むことは ____ 定理を使います。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
サンドイッチ定理とも呼ばれます。
What the theorem says
- Suppose near $c$ (except maybe at $c$ itself) we have $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- If $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, then $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ too.
- The two bounds squeeze $f$ onto the single value $L$.
- You need two things: a valid inequality 不等式 near $c$, and equal limits for the bounds.
$f$ における $c$ に挟み撃ちの定理を適用するには、以下のすべてが必要です...
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$c$ 近傍で有効な、両側限界が等しい境界が必要です。$f$ は多項式である必要はありません——これが本質です。
The classic wiggle
- $\sin\tfrac1x$ swings between $-1$ and $1$ forever as $x\to0$ — no limit on its own.
- But multiply by $x^2$: since $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, we get $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Both walls $\pm x^2 \to 0$ as $x\to0$.
- Squeezed between them, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
挟む壁 $y=x^2$
y = ax²
放物線 $y=x^2$ とその鏡像 $-x^2$ は原点で共に $0$ に挟まれ、それらの間に閉じ込められた anything は $0$ に強制されます。
$-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$ を用いて $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$ を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
両方の壁が $\pm x^2\to 0$ なので、挟まれた関数は $\to 0$ 。
Checking the setup honestly
- The inequality only has to hold near $c$, not everywhere — a small interval around $c$ is enough.
- The bounds' limits must be equal; if the walls head to different heights, the theorem says nothing.
- Squeeze is the standard route to the famous $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, from the geometric bounds $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Always name your two bounding functions explicitly — that is the heart of the argument.
$f$ の上からの境界のみを $f(x)\le h(x)$ とともに用いれば、挟み撃ちの定理が適用できる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
等しい極限を持つ両側の境界が必要です — 一方の境界だけでは何も証明されません。
挟み撃ちの定理により、$\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$ を用いて $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$ が得られます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x\to0$ として、$\cos x\to1$ および上界が $1$ であるため、中央は $1$ に挟まれます。
下界が $2$ に、上界が $5$ に向かう場合、挟み撃ちの定理は挟まれた極限が以下であることを示します...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
境界には等しい極限が必要です；異なった壁からは結論が得られません。
The Squeeze Theorem needs the bounds to squeeze from both sides with equal limits. If you only bound $f$ from above ($f\le h$), or the two bounds head to different values, you have proved nothing. And the inequality must genuinely hold near $c$ — check it, don't assume it.
Show $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- For all $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Multiply by $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ and $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- By the Squeeze Theorem, the middle limit is also $0$.
The Squeeze Theorem: if $g\le f\le h$ near $c$ and $\lim g=\lim h=L$, then $\lim f=L$. Use it when a function oscillates or otherwise resists direct methods — bound it above and below by functions with equal limits, verify the inequality near $c$, and $f$ is trapped onto $L$.