仮説検定

統計学の法廷

• 薬品会社が新しい医薬品が従来のものより優れていると主張している。証拠が十分かどうかをどう判断するか？
• 帰無仮説検定は統計学における法廷に相当する。被告人（帰無仮説）が合理的な疑いがない限り有罪であると証明されるまで無罪とみなす。

仮説の設定

• 仮説検定は標本データを用いて主張を評価する。
• 帰無仮説 $H_0$ — デフォルトの立場（通常「変化なし」や「効果なし」）。
• 対立仮説 $H_1$ — 真であると予想すること。
• $H_1$ が片方向を指す場合は片尾検定（$\mu > 50$）；両方を指す場合は両尾検定（$\mu \neq 50$）。

二尾5%検定では、H0 は ±1.96 以外の陰影部分で棄却される

検定の実行

• 有意水準（通常5%）を設定し、検定統計量を計算して棄却域に入るか確認する。

• ⟨$|z|$⟩が有意値（1.96：両側5%、1.645：片側5%）を超えれば、$H_0$を棄却する。

5%の片尾検定では、検定統計量が陰影の尾部に入った場合にのみ H₀ を棄却する。

誤りの種類

• 第I類誤り: $H_0$ が真であるにもかかわらずそれを棄却すること（偽陽性）。確率は有意水準 $\alpha$ に等しい。
• 第II類誤り: $H_0$ が偽であるにもかかわらずそれを受理すること（偽陰性）。

worked example — z検定

• $H_0: \mu = 50$, $H_1: \mu \neq 50$ (両尾、5%水準)。$\sigma = 8$, $n = 64$, $\bar{x} = 52$。
• $z = \dfrac{52 - 50}{8/\sqrt{64}} = \dfrac{2}{1} = 2$.
• 両尾5%の臨界値: $1.96$。$2 > 1.96$ であるため、$H_0$ を棄却する。
• 帰無仮説と対立仮説を設定する。検定統計量は臨界域（棄却）または受理域に入る。第II類誤りとは、偽の $H_0$ を受理することである。検定には二項分布やポアソン分布が用いられることもある。

理解できましたか