| English | 意味 |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | 標本 |
| population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ | 母集団 |
| stratified/ˈstrætɪfaɪd/ | 層化 |
| systematic/ˌsɪstəˈmætɪk/ | 系統的 |
| cluster/ˈklʌstə/ | 集落 |
| sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 抽出分布 |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | 標準誤差 |
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | 中心極限定理 |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | 信頼区間 |
選挙を予測した世論調査
- 1000人を対象とした調査で、60百万人の投票行動を予測できる。どうしてか？
- サンプリングにより、慎重に選ばれた小規模な部分群から全体集団について結論を導き出せる。その背後にある数学は、すべての統計的推論の基礎である。
母集団とサンプル
- 母集団とは、研究対象とする完全なグループのこと。サンプルとは、母集団からの小規模なグループである。
- 良好なサンプリングにはランダム性が必要であり、構成員すべてに選択される既知の確率があるべきである。
- サンプリング方法: 単純無作為、層別（各サブグループから比例抽出）、系統（$k$番目の構成員）、クラスター。
層別サンプリング。 男子600人、女子400人の学校がある。層別サンプル50人: $\dfrac{600}{1000} \times 50 = 30$ 男子と $\dfrac{400}{1000} \times 50 = 20$ 女子。
標本平均は母集団の形状に関わらずほぼ正規分布に従う
The sampling distribution
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
By the Central Limit Theorem, sample means follow a normal curve — narrower for bigger samples.
A school has 600 boys and 400 girls. A stratified sample of 50 needs how many boys?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(600/1000) × 50 = 30 boys.
平均の標本分布
- 標本平均 $\bar{X}$ はそれ自体が確率変数である:
- 平均の標準誤差は $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — $n$ が大きくなると小さくなる。
統計学は標本を研究して全体の母集団について学ぶ
A population has σ = 8. For a sample of n = 64, what is Var(X̄) = σ²/n?
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Var(X̄) = σ²/n = 64/64 = 1.
A population has σ = 10 and n = 25. The standard error σ/√n = ?
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σ/√n = 10/√25 = 10/5 = 2.
Match each sampling idea to its meaning.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The CLT makes sample means normal; their spread is σ²/n, giving the confidence interval.
中心極限定理
- 中心極限定理により、標本サイズが大きい場合（$n \geq 30$）、母集団の形状に関わらず $\bar{X}$ は概ね正規分布に近づく。
- これは数学における最も強力な結果の一つであり、データが正規分布でない場合でも正規分布を用いることを可能にする。
CLTは平均に適用され、データそのものには適用されない。 中心極限定理は $\bar{X}$ の分布が正規になることを示しており、個々のデータポイントではない。生データはどのような形状であっても構わない。
95%信頼区間は標本平均から両側それぞれ1.96標準誤差まで達する
By the Central Limit Theorem, the sample mean is approximately normal for a large sample, whatever the population shape.
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The CLT makes X̄ approximately normal as the sample size grows.
The Central Limit Theorem says the individual data points become normally distributed for large samples.
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The CLT applies to the sample mean X̄, not the individual data points. The raw data can have any shape.
信頼区間
- 信頼区間は、真の平均が含まれる可能性が高い範囲を示す。
- 正規分布で $\sigma$ が既知の場合（または大標本の場合）、95% 信頼区間は以下の通りである：
- 無作為標本から平均と分散の不偏推定量（'不偏' = 平均的に正しい）および母比率の信頼区間を求める。また、乱数は標本の選定に役立つ。
A sample of n = 64 has σ = 8. What is the margin 1.96 × σ/√n for a 95% interval? (2 dp)
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1.96 × 8/√64 = 1.96 × 8/8 = 1.96.
理解できましたか
- $E(\bar{X}) = \mu$, $\text{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$; CLT により $\bar X$ ≈ 正規分布、大 $n$ のとき
- 95%信頼区間: $\bar{x} \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- 良好な標本抽出にはランダム性が必要