確率変数の線形結合

組み合わせの数学

• 2つの別プロセスの平均と分散が既知のとき、それらを足し合わせた結果はどうなるか？
• 線形結合により、組み合わされた確率変数の振る舞いを予測できる。これは品質管理、金融、工学において不可欠である。

単一変数の線形変換

• 線形則によって変化する単一変数について：

ポアソン分布 Po(3)；その平均と分散はどちらもラムダに等しい

2つの独立変数

• 注意: 分散は常に足し算される（$X - Y$の場合でも）。なぜなら$(-1)^2 = 1$だからである。

線形結合における分布

• ⟨$X$⟩ が正規分布であれば、$aX + b$もまた正規分布となる。独立な正規変数の和は正規分布である。
• 独立なポアソン分布の和はポアソン分布である: ⟨$X \sim \text{Po}(\lambda_1)$⟩ と ⟨$Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$⟩ のとき、$X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$。

解例 — 正規分布の組み合わせ

• ⟨$X \sim N(10, 4)$⟩ と ⟨$Y \sim N(20, 9)$⟩ は独立である。$X + Y$ の分布を求める。
• $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
• よって $X + Y \sim N(30, 13)$。
• 正規分布の線形結合は正規分布であり、独立なポアソン分布の和はポアソン分布である。

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