| English | 意味 |
|---|---|
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 離散型確率変数 |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | 期待値 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 分散 |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 確率分布 |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 二項分布 |
| trial/ˈtraɪəl/ | 試行 |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 幾何分布 |
偏ったサイコロ
- 公平なサイコロでは各目の出現確率は $\dfrac{1}{6}$ です。しかし、もしこれが偏ったサイコロであればどうでしょうか？ 各結果にはまだ確率が存在しますが、もはや等しくありません。
- 離散型確変数は、ありうるすべての結果に対して確率を割り当てます。これは統計的モデル化の基礎です。
離散型確変数
- 離散型確変数 $X$ は互いに離れた値を取り、それぞれに確率が割り当てられます（その総和は1になります）。
- 期待値（平均）: $E(X) = \sum x\,P(X = x)$。
- 分散: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$。
** worked example.** $X$ は値 1, 2, 3 をそれぞれ確率 0.2, 0.5, 0.3 で取ります。 $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
** 確率の総和は1でなければなりません。** 期待値や分散を計算する前に、必ず $\sum P(X = x) = 1$ であることを確認してください。そうでない場合、その確率分布は不正です。
二項分布
X ~ B(n, p)
各棒はk回の成功の確率を表す。n や p を変更すると、平均 np がどのように移動するか確認できる。
確率分布表において、確率の総和は1でなければならない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
有効な分布とは、すべての確率の総和が1となる分布である。
X は値 1, 2, 3 をとり、それぞれ P = 0.2, 0.5, 0.3 である。E(X) = ΣxP(X=x) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
E(X) = 2.1 および E(X²) = 4.9 のとき、Var(X) = E(X²) − (E(X))² を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Var(X) = 4.9 − 2.1² = 4.9 − 4.41 = 0.49。
各二項分布の概念とその結果を対応させなさい。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
二項分布は固定された n 回の試行と一定の p を持ち、平均は np、分散は np(1−p) である。
二項分布
- 二項分布 $X \sim B(n, p)$ — $n$ 回の独立試行における成功の回数:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
各棒は B(10, 0.3) における P(X = r) を表しており、分布は平均 np = 3 でピークになります。
X ~ B(10, 0.3) のとき、E(X) = np はいくつですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3。
X ~ B(10, 0.3) のとき、Var(X) = np(1−p) はいくつですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1。
幾何分布
- 幾何分布 — 最初の成功が生じる試行番号:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
p = 0.2 の幾何分布において、E(X) = 1/p を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5。平均的に、最初の成功は5回目の試行で生じる。
worked例題 — 二項分布
- $X \sim B(10, 0.3)$. $P(X = 2)$ と $E(X)$ を求めよ。
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
理解できましたか
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- 二項分布 $B(n,p)$: $E = np$, $\text{Var} = np(1-p)$
- 幾何分布: $r$ 回目の試行で初めて成功し、$E = \dfrac1p$