| English | 意味 |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | ベクトル |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 大きさ |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | 単位ベクトル |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | 交差する |
| skew/skjuː/ | すれ違う |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | 内積 |
3D におけるナビゲーション
- GPS衛星は3次元で位置を追跡します。航空機は航向、ピッチ、ロールを使用して航行します。
- ベクトルは空間内の方向と大きさの数学であり、物理学、工学、コンピュータグラフィックスに不可欠です。
3D におけるベクトル
- ベクトルには大きさと方向があります: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
- 大きさ $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$; 単位ベクトルは大きさ 1 です。
** worked example.** $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. 大きさ $= \sqrt{9 + 16} = 5$. 単位ベクトル $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$.
風や水のような力は、大きさを持つベクトルです
ベクトル i + 2j + 2k の大きさ（ノルム）は？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
|v| = √(1² + 2² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3.
直線のベクトル方程式
- 点 $\mathbf{a}$ を通り、方向 $\mathbf{b}$ の直線：$\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$。
- 直線は平行（同じ方向）、交わる（共通の点を持つ）、またはねじれた（そのいずれでもない）ことがあります。
ねじれた直線は交わらず、平行でもありません。 3D では、2本の直線が全く交わらないことがあり、これらは同一平面内に存在しません。これは 2D では不可能です。
スカラー積
a · b = |a||b|cos θ
内積は2つのベクトルが同じ方向にどれだけ向いているかを表し、直交している場合はゼロになります。
点 a を通り方向 b に平行な直線のベクトル方程式は:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
r = a + tb （t は実数パラメータ）
3次元において、交わらない2本の直線は必ず平行ではありません。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
3次元では、直線はねじれ（skew）することがあります——平行でも交わりません。これは2次元では不可能です。
内積（スカラー積）
- つまり$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$は、これらベクトルが直交することを意味する。
- 2つのベクトルの間の角度を求めるために使用します：$\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$。
内積は角度を与えます: a·b = |a||b|cos θ なので、cos θ = (a·b)/(|a||b|) です。
スカラー積 (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k) を求めなさい。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8.
a·b = 0 のとき、2つのベクトルは直交します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cos θ = 0 より θ = 90° となるため、内積がゼロであることはベクトルが直交することを意味します。
a·b = 6, |a| = 3, |b| = 4 のとき、cos θ の値は？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 6/(3×4) = 6/12 = 0.5 です。
worked example — ベクトルの間の角度
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$。よって、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は直交している（$\theta = 90^{\circ}$）。
図を省略可能：ベクトルは本質的に3次元であり、2次元の静的な図では明確に表現するのが難しい。代数表記と解き例によって、概念を効果的に伝えることができる。
- 位置ベクトルと変位ベクトル、および単位ベクトルを使用し、比の定理を用いて与えられた比で線分を分割する。
理解できましたか
- 大きさ $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$；直線：$\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- 内積 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → 直交