対数、三角関数、数値的方法（純粋3）

既知の知識に基づく構築

• Pure 3 は全く新しい概念を導入するわけではなく、Pure 2 で習得したスキルを深め、拡張するものである。
• 対数、三角関数、数値計算が、より難しい問題と豊富な応用とともに再登場する。

対数の復習

• $e^x$ と $\ln x$ の対数の法則が、より難しい文脈で再登場する：指数方程式の解法、増減のモデル化、データの直線化など。
• 重要なスキル：未知数が指数にある場合は、両辺に対数を取る。

直線 r = a + tb: a で始め、方向 b の t 倍だけ移動する

三角関数の復習

• $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
• 倍角公式および $R$-形式の $a\sin\theta + b\cos\theta$。
• これらの恒等式は、積分や三角方程式の解法に不可欠である。

数値計算の復習

• 解を閉じ込めるための符号の変化、そして反復公式 $x_{n+1} = F(x_n)$ 。
• 収束には、 $|F'(x)| < 1$ が解付近にある必要がある。

allow_no_figure: Pure 2 のスキル（対数、三角関数、数値計算）を統合する復習レッスン——新たな視覚的概念は提示されない。

worked example — R-formula の適用

• $3\sin\theta + 4\cos\theta$ を $R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変換します。
• $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
• よって $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$。
• 最大値は $5$（$\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$のとき）。
• $\ln y$を$x$に対してプロットすると、直線が得られ、その傾きと切片から定数を見出せる（添え字と逆関数を用いる）；また、セカント、コセカント、コタンジェントといった逆三角関数を理解し、反復法 $x_{n+1}=F(x_n)$によって収束して根を見つけることを知っておくこと。

理解できましたか