| English | 意味 |
|---|---|
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分数 |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理関数 |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | 因数分解 |
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | 重複因数 |
| irreducible quadratic/ɪrɪˈdjuːsɪbl kwɒˈdrætɪk/ | 不可約二次式 |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二項展開式 |
分解不能なものの分割
- $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ を直接積分することはできない。しかし、 $\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$ に分割すれば、それぞれが簡単な対数関数となる。
- 部分分数分解は、複雑な有理関数を簡単な要素に分解する——積分や級数展開に不可欠である。
部分分数分解
- 分母が因数分解された分数は、より単純な分数に分解される：
- これにより、有理関数の積分や展開が容易になる。
計算例。 $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$。両辺に$x+4 = A(x-2) + B(x+1)$を掛けて整理します。$x = -1$ とおくと: $3 = -3A \Rightarrow A = -1$。$x = 2$ とおくと: $6 = 3B \Rightarrow B = 2$。結果: $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$。
内積は b が a の方向にどれだけ向いているかを測る： |b| cos θ
逆数曲線
y = a/(x − b) + c
部分分数分解は、複雑な分数を単純な逆数の要素に分割します。各要素には垂直および水平な漸近線があります。
(x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2) と書き換え、x = 2 を代入して B を求めます。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x = 2 のとき: 2 + 4 = B(2 + 1)、つまり 6 = 3B、したがって B = 2。
部分分数分解は、有理関数の積分を容易にします。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
各単純な分数は対数に積分されるため、最初に分割すると積分が簡単になります。
重複因子と不可約二次式
- 重複因子 $(cx+d)^2$ : $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$ が必要である。
- 不可約二次式 $(x^2 + a^2)$ : $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$ が必要である。
重複因子の項を忘れないでください。 $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. $\dfrac{C}{(x+1)^2}$ の項を欠くことがよくあるミスです。
休日の図形
1/(x(x+1)²) の部分分数形式には以下のものが含まれます：
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重複因子 (x+1)² には、B/(x+1) および C/(x+1)² の両方の項が必要です。
有理指数の二項展開
- 分数/負の $n$ に対して $|x| < 1$ のとき有効である：
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
分数または負の n に対する二項展開 (1+x)ⁿ が有効である条件は：
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非正の整数幂の場合、級数は |x| < 1 のときのみ収束します。
(1+x)^(1/2) の展開において、x² の係数は n(n-1)/2! （n=1/2）です。それを求めなさい。
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(1/2)(1/2 - 1)/2 = (1/2)(-1/2)/2 = -1/8 = -0.125.
worked example — 部分分数を用いた積分
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: 代数的技法（部分分数分解）——視覚的コンテンツは代数的操作そのものであり、図表ではない。
- 因数定理と剰余定理を用いる：多項式を割ると、商と剰余が得られる。
∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C。x = 3 のとき、2 ln|x-2| はいくつですか（小数点以下2桁）？
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2 ln|3-2| = 2 ln(1) = 2 × 0 = 0。
理解できましたか
- 部分分数は、積分や展開のために有理関数を分解する
- 分母（重複因子 → 追加の $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$ 項）に対応した形に合わせる
- 二項展開は、有理 $n$ に対して $|x| < 1$ のとき有効である