方程式の数値解法

見えない解

• いくつかの方程式には、きれいな代数的な解が存在しない。 $x^3 + x - 1 = 0$ は因数分解できない。
• しかし、関数の符号が変わるため、 $0$ と $1$ の間に解が存在することは分かっている。数値計算により、任意の精度でその値を求めることができる。

解の位置特定

• 多くの方程式を正確に解くことはできない。**解（ルート）**とは、方程式の解のことである。
• 符号の変化: $f(a)$ と $f(b)$ が異なる符号を持ち（両者の間に不連続点がない場合）、根号 $a$ と $b$ の間に解が存在する。

反復: 曲線まで上って y = x へ横たわり、ステップが解に収束する

反復法

• 方程式を $x = F(x)$ の形に変形する。
• 反復公式 $x_{n+1} = F(x_n)$ を用い、最初の推測値 $x_0$ から始める。
• 値が安定すれば、それは収束して解に近づく。指定された精度になるまで続ける。

反復: $x_0$ から始め、各ステップで $F$ を適用し、 $y = x$ で反射させる。コブwebは固定点——すなわち解——へと螺旋状に収束する。

worked example — 反復法

• $x^3 + x - 1 = 0$ を $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$ を用いて解き、 $x_0 = 0.5$ から始める。
• $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
• 値は $x \approx 0.682$ に収束する。

変形の選択

• 全ての変形が収束するわけではない。反復 $x_{n+1} = F(x_n)$ は、 $|F'(x)| < 1$ が解付近にある場合に収束する。
• 発散する場合（値が離れていく場合）、別の形に変形してみる。

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