積分法（純粋2）

語彙

English	意味
integral/ˈɪntɪɡrəl/	積分
exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/	指数関数
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程式
trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/	台形則
strip/strɪp/	帯
estimate/ˈestɪmət/	推定値
identity/aɪˈdentɪti/	恒等式

eˣ が逃げられない領域

$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,$$

$$\int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C.$$

Example

worked example. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$。$\dfrac{1}{3}$ は逆合成関数の微分（逆チェーンルール）から得られる。

Watch out

$\dfrac{1}{a}$ を忘れないでください。 $e^{ax+b}$ を積分する際は、$a$ で割る必要があります。$e^{2x}$ の積分は $\dfrac{1}{2}e^{2x}$ であり、$e^{2x}$ ではありません。

台形則は、幅hの直線上面を持つストリップを加算して面積を推定する。

探索

area = ∫ f(x) dx

積分は依然として面積を測ります。a と b をドラッグして、曲線下の帯の合計を求めなさい。

実践

∫ eˣ dx はいくつですか？

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

実践

∫ (1/x) dx はいくつですか？

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

実践

∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C。a はいくつですか？

難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

実践

∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C。0 から π/6 で評価しなさい（小数点以下2桁）。

難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

$\sin$/$\cos$ のべき乗を積分するには、まず恒等式を用いてべき乗を取り除きます。
例: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$ なので、$\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ です。

$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + \cdots + y_{n-1})\big]$$

台形則：面積を帯に分割し、それぞれを台形として近似して、その面積を合計します。

実践

台形則は、定積分を正確に求めることができない場合に推定するために用いられます。

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

実践

h = 1 の台形則を用いて、y の値が 1, 4, 9 のとき、∫₁³ x² dx を推定しなさい。

難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

$\int_1^4 x^2\,dx$ を 3 本の帯で推定します（$h = 1$）。
$y$ の値: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$。
$\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
正確な値: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$。推定値は近い値です。
積分は逆微分であり、複雑な積分には置換法を使います。

Key idea

$\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
積分前に、$\sin$/$\cos$ のべき乗を恒等式で取り除きます
台形則は、台形の帯の和として積分を推定する