| English | 意味 |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | 標準的な微分 |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商の法則 |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 積の法則 |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | パラメータ表示 |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | 陰関数 |
変化しない導関数
- 関数 $e^x$ は独自性がある: その導関数は自分自身である。他のどの関数もこの性質を持たない。
- このため $e^x$ は成長モデル、放射性崩壊、複利の基礎となっている。
標準的な導関数
** worked example（例題）** $y = e^{3x}$ 。合成関数の微分法より: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$ 。
ある点における勾配
勾配 = dy/dx
点をスライドさせると、接線の傾きは導関数となります。これらの新しい標準関数でも同様です。
ln x の導関数は 1/x です。x = 4 におけるその値はいくつですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25。
eˣ の導関数は eˣ です。x = 0 におけるその値はいくつですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
d/dx(eˣ) = eˣ、かつ e⁰ = 1。
y = e^(3x) のとき、dy/dx = 3e^(3x) です。x = 0 における dy/dx はいくつですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x = 0 のとき: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3。
積の微分法と商の微分法
- 積の微分法: $(uv)' = u'v + uv'$。
- 商の微分法: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$。
積の法則：$u$と$v$の両方が変化する場合、全変化率は2つの項を持つ——一方が固定された状態で他方が変化する分ずつ。
積の微分法を忘れないでください。 $uv$ の導関数は $u'v'$ でありません。$(uv)' = u'v + uv'$ を用いる必要があります。これは微分の最も一般的な誤りの一つです。
積の法則により、(uv)′ は次のように表されます：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′。
(u/v)′ の商の法則は (u′v − uv′)/v² です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
商の法則は (u′v − uv′)/v² です（分子はプラスではなくマイナス）。
パラメータ式微分と陰関数微分
- パラメータ式: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$。
- 陰関数: $x$ のすべての項を微分し、$y$ の項に対して合成関数の微分（チェーンルール）を行い、$\dfrac{dy}{dx}$ について解く。
x = t² および y = t³ のとき、dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2 です。t = 4 のとき、dy/dx はいくつですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
t = 4 のとき: dy/dx = 3(4)/2 = 6。
worked example — 積の微分法
- $y = x^2 \sin x$。$u = x^2$、$v = \sin x$ とする。
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
理解できましたか
- 学ぶべき点：$\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$、$\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$、$\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$、$\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- 積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$；商の微分法 $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- パラメータ式: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$；陰関数: ⟨$y$ ⟩の項にチェーンルールを適用する