対数関数と指数関数

永遠に増える数

• 銀行預金が10年ごとに倍になります。100年後には、元の金額の $2^{10} = 1024$ 倍に成長しています。
• しかし、「何年后にちょうど元の500倍になるか？」という質問に対しては、対数 だけが答えられる問題です。

対数とは何か？

• 対数 は「何乗か？」に答えます： $a^x = y$ なら $x = \log_a y$ です。
• 例：$2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$。

地震の強さは対数スケールであるリクター震度.setTextで測定されます

対数の法則

• 対数の法則 ：
  • $\log(mn) = \log m + \log n$,
  • $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
  • $\log(m^k) = k\log m$.

資源が豊富であれば、人口は指数関数的に増加することがあります

e と ln

• $e^x$ と 自然対数 $\ln x$ は 逆関数 です： $\ln(e^x) = x$ および $e^{\ln x} = x$ 。
• 未知数が指数にある場合、両辺の対数を取る。

$e^x$ と $\ln x$ は互いに逆関数であり、そのグラフは直線 $y = x$ に対して鏡像になっています。

直線形とモデル化

• 直線形: $y = Ax^n$ が $\ln y = \ln A + n\ln x$ に変換される — 傾き $n$ 、切片 $\ln A$ の直線。
• これにより、$\ln y$ を横軸、$\ln x$ を縦軸としてプロットすることで、実験データからべき乗則を求めることができます。
• 対数と累乗（指数）は逆の演算です。

理解できましたか