積分

曲線下の面積

• 推力が時間とともに変化するロケットはどの程度の燃料を消費するか？湾曲した田地はどの程度の土地を覆っているか？
• 積分がこれらの質問に答えます——変化率から総累積量を求めることである。

不定積分

• 積分 は微分の逆操作です：

• $+\,C$ は 積分定数 です — 既知の点から求めることができます。

定積分は、曲線とx軸の間の塗りつぶされた面積を測ります

定積分

• 定積分 は数値を返します： $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ 。
• $p$ から $q$ までの曲線下の 面積 は $\displaystyle\int_p^q y\,dx$ です（2つの曲線の場合は、上部 − 下部を積分）。

定積分 $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$ 。塗りつぶされた面積は $9$ 平方単位です。

回転体

• $x$ 軸周りの 回転体 ： $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$ 。
• 半径 $y$ 、厚み $dx$ の極薄円盤を積み重ねたものと考えます。

曲線下の領域をx軸周りに回転させると回転体が形成され、薄い円盤として合計されます

worked example（計算例）

• $y = x^2$ の $x = 0$ から $x = 3$ までの曲線下の面積を求めます：
• $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
• 反則積分 は、無限の限界または有界でない被積分関数を持つ积分です。

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