微分法

変化の速さ

• ロケットの燃料が尽きる正確な瞬間に加速度はどれくらいか？最も高い地点でのローラーコスターの傾きはどれくらいか？
• 微分法がこれらの質問に答えます——曲線上の任意の点における瞬時変化率を見つけます。

累乗則と合成関数の微分則

• 微分法は、各点における曲線の勾配——導関数 $f'(x)$ または $\dfrac{dy}{dx}$ ——を見つけます。
• 累乗則：$\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ （任意の有理数 $n$）。
• 関数の中にある関数に対する合成関数の微分法: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$ 。

導関数 $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ は任意の点における勾配を与えます：$x = 2$ において、勾配は $4$ です。

定常点

• 定常点とは、$\dfrac{dy}{dx} = 0$ となる点（接線が水平である点）です。
• 二階微分を用いて検定する：
  • $f''(x) > 0$ → 極小値,
  • $f''(x) < 0$ → 極大値。
• また: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → 増加; $< 0$ → 減少.

極大値または極小値では勾配 dy/dx はゼロです

例題 — 定常点の求め方

• $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
• $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
• 定常点は $x = 1$ および $x = 3$ にあります。
• $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$：$x=1$ において $f'' = -6 < 0$（極大値）；$x=3$ において $f'' = 6 > 0$（極小値）。

微分法の応用

• 最適化：$\dfrac{dy}{dx} = 0$ を置くことで最大利益や最小コストを見つける。
• 変化率：速度は変位の導関数、加速度は速度の導関数である。
• 曲線の概略描画：定常点と $\dfrac{dy}{dx}$ の符号が形状を明らかにする。
• 導関数はまた、法線（接線に垂直な直線）の勾配も与える。

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