| English | 意味 |
|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 収束する |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | 等比級数 |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二項展開式 |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 二項係数 |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | 等差数列 |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | 公差 |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | 等比数列 |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 公比 |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 無限和 |
収束する無限級数
- $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ を限りなく足し続ける。合計は？ちょうど $2$。
- これは比が $\dfrac{1}{2}$ の幾何級数です。すべての無限級数がこのように良い性質を持つわけではありませんが、そうなるものは金融、物理学、計算科学において強力な道具となります。
二項展開
- 正の整数 $n$ に対して：
- ここで $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ は二項係数です。
** worked example（例題）。** $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$。係数 $1, 4, 6, 4, 1$ はパスクルの三角形の4行目です。
二項係数 C(5, 2) = 5! / (2! 3!) はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
等差数列 (AP)
- 等差数列 (AP) は、各ステップで一定の公差 $d$ を加算します：$a, a+d, a+2d, \ldots$
- $n$ 番目の項：$u_n = a + (n-1)d$。
- 初めから $n$ 項までの和：$S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$。
初項 a = 3、共通差 d = 4 の等差数列がある。第5項はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
初項 a = 2、共通差 d = 3 の等差数列がある。初めから5項までの和はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
等比数列 (GP)
- 等比数列 (GP) は、各ステップで一定の公比 $r$ を乗算します：$a, ar, ar^2, \ldots$
- $n$ 番目の項：$u_n = ar^{n-1}$。
- 最初の $n$ 項の和: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ （$r \neq 1$ の場合）。
AP は線形的に増大（$d$ を加算）、GP は指数関数的に増大（$r$ を乗算）。$r > 1$ の場合、GP は最終的に AP を圧倒します。
数列を構成する
uₙ = a · rⁿ⁻¹
各項は r と 掛け算される。|r| < 1 の場合、項は小さくなり、無限和は収束する。
初項 a = 2、公比 r = 3 の等比数列がある。第4項はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
u₄ = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54。
無限和
- GP が $|r| < 1$ のとき収束します——項がどんどん小さくなります。
- 無限和：$S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$。
$|r| < 1$ が必須です。 $|r| \geq 1$ の場合、項は縮小せず、無限級数は発散（境界なく増加）します。公式 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ は級数が収束する場合のみ適用されます。
- 等差数列には公差があり、等比数列には公比があります。収束する等比数列（$|r|<1$）は収束して無限和を示します。
初項 a = 8、公比 r = 0.5 の等比数列がある。無限和はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
r = 1.5 の等比級数は有限の無限和を持つ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
無限和の公式は |r| < 1 の場合にのみ適用される。r = 1.5 の場合、級数は発散する。
各公式とそれが計算する量を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
d は等差数列、r は等比数列を表す — 公式を見分けることが試験問題の半分である。
理解できましたか
- 二項展開：$(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP：$u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP：$u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- $|r|<1$ の場合、無限和は $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$