円弧測度

ラジアンとは?

• エンジニアは角度を度で測ります。数学者はラジアンを好みます — その理由は明確です。
• ラディアンは自然な単位です。半径と同じ長さの弧を切り取る角度のことです。
• ラディアンを用いると、弧の長さと扇形の面積の公式が美しくシンプルになります。

ラディアンとは何か?

• ラジアンとは、半径と同じ長さの弧を切り取る角度です。
• 関連する式: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$ 。
• 度 → ラジアン: $\dfrac{\pi}{180}$ を掛け、ラジアン → 度: $\dfrac{180}{\pi}$ を掛けます。

弧の長さと扇形の面積

• 半径が $r$ 、角度が $\theta$ （ラジアン単位）の扇形について:
  • 弧の長さ $s = r\theta$ ,
  • 扇形の面積 $A = \tfrac12 r^2 \theta$ 。

ラディアンの美しさ: 弧の長さ $= r\theta$ と扇形の面積 $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$ 。複雑な $\dfrac{\theta}{360}$ の分数は不要です。

弓形の面積

• 弓形とは、弦と弧の間の領域です。
• 弓形の面積 ＝ 扇形 − 三角形 ＝ $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ 。
• 三角形の面積は $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ です（正弦定理による面積公式を使用）。

接線は円に一点で接し、その点で半径に垂直です

worked example（計算例）

• 扇形: $r = 5$ , $\theta = 2$ rad.
• 弧の長さ $= 5 \times 2 = 10$ .
• 扇形の面積 $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$ .
• 弓形の面積 $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$ .

理解できましたか