| English | 意味 |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 傾き |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | 中点 |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | 垂直二等分線 |
| tangent/ˈtændʒənt/ | 接線 |
位置の数学
- GPS卫星利用坐标几何将你的位置精确定位到几米范围内。
- 全ての地図、全ての設計図、全てのコンピュータグラフィックスは、同じ基本的な考え方に依存しています：直線、円、および点間の距離。
直線
- $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ を通る直線の 傾き：$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
- 直線の方程式：$y = mx + c$ （切片形式）、または $y - y_1 = m(x - x_1)$ （点斜形式）。
- 平行 線は傾きが等しく、垂直 線は傾きの積が $-1$ となる。
** worked example.** $(2, 3)$ と $(6, 11)$ を通る直線：$m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$。方程式：$y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$。
** 垂直な傾きの罠。** 直線の傾きが $2$ の場合、垂直な直線の傾きは $-\dfrac{1}{2}$ であり、$-2$ ではない。分数の分子と分母を入れ替え、符号を変える必要がある。
直線
y = ax + b
傾き a が直線を傾け、切片 b が直線を上下にずらす。
(2, 3) と (6, 11) を通る直線の傾きはいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
ある直線の傾きが2である。これに垂直な直線の傾きはいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
垂直な直線の傾きの積は -1 なので、傾きは -1/2 = -0.5。
中点と平行線
- $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ の中点は $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ です。
- 垂直二等分線は、中点を通り、垂直な傾きを持ちます。
(2, 3) と (8, 7) の中点のx座標はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
中点 x = (2 + 8)/2 = 5。
円
- 中心が $(a, b)$ 、半径が $r$ の円: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 。
- 展開形（例: $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ ）→ 平方完成を行い、$x$ と $y$ を用いて中心と半径を求めます。
方程式 $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ は、中心が $(3, -2)$ 、半径が $5$ の円を表します。
円 (x − 3)² + (y + 2)² = 25 の半径はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
r² = 25 より r = 5；中心は (3, −2)。
円 x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 の中心は：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平方完成：(x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61。中心は (3, −5)。
円の接線
- 接線は円に一点で接し、その点で半径に垂直です。
- この直角の性質はほとんどの円の問題を解く鍵です。半径の傾きを求め、次に接線の傾きは $-\dfrac{1}{m}$ となります。
円の接線は、接点における半径と垂直である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
この直角の性質は、ほとんどの円の問題を解決する。
理解できましたか
- 傾き $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ; 垂直な直線の傾きの積は $-1$ です
- 円: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ , 中心 $(a,b)$ , 半径 $r$
- 接線は接点において半径に垂直です
- 中点 $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$