語彙
| English | 意味 |
|---|---|
| chi-squared/kaɪ skweəd/ | カイ二乗 |
| observed/ɒbˈzɜːvd/ | 観測値 |
| expected/ekˈspektɪd/ | 期待値 |
| critical value/ˈkrɪtɪkl ˈvæljuː/ | 有意水準 |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | 自由度 |
| goodness of fit/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/ | 適合度 |
| independence/ˌɪndɪˈpendəns/ | 独立性 |
| contingency table/kənˈtɪndʒənsi ˈteɪbl/ | 列联表 |
データは理論に適合するか？
- サイコロは各目に均等に落ちると予想したり、目の色が髪の色と独立していると想定したりする。データが実際にそう一致しているか？
- $\chi^2$（カイ二乗）検定は、観測された頻度がモデルの予測からどれだけ逸脱しているかを計測し、そのギャップが偶然によるものとしては大きすぎないかどうかを調べる。
探索
カイ二乗検定の流れ
観測値と期待値に基づき検定の結論を出す。
検定統計量
- 観測された各値 $O$ と、モデルから得られる期待値 $E$ を比較する:
$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$
- $\chi^2$ が小さいことはデータが適合することを意味し、大きいことは適合しないことを意味する。
実践
カイ二乗検定統計量は：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
χ² は全カテゴリーについて (観測値 − 期待値)² ÷ 期待値 の総和である。
棄却領域
- $\chi^2$ を右側の自由度に対する表の閾値と比較する。
- $\chi^2$ が閾値を超えた（上側尾に位置した）場合、モデルを棄却する。
大きなχ²は塗りつぶされた尾に入ります — 偶然では説明できないほど大きいため、モデルは棄却されます。
実践
大きなカイ二乗値（有意水準を超えた場合）はモデルの拒否につながる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
大きな χ² は、観測値と期待値の差が偶然によるものではないことを示す。
worked example（計算例）
- 観測頻度 $20, 30, 25, 25$、それぞれが $25$ と期待される。
- $\chi^2 = \dfrac{(20-25)^2 + (30-25)^2 + 0 + 0}{25} = \dfrac{25 + 25}{25} = 2$.
- 臨界値と比較すると、$\chi^2$ が $2$ で小さいため、データは適合している。
実践
観測値が 20, 30, 25, 25 で、それぞれ期待値が 25 のとき、χ² = Σ(O−E)²/E はいくつか。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
((−5)² + 5² + 0 + 0)/25 = 50/25 = 2.
2つの用途
- 適合度の検定: データが提案された分布（一様分布、二項分布、ポアソン分布など）に従うか？
- 独立性: 交差集計表において、2つの分類は独立しているか？（期待 $= \dfrac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{grand total}}$。）
Watch out
小さな期待頻度を組み合わせる。 期待頻度が 5未満 の場合、まずクラスを統合せよ — 極めて小さな期待頻度における $\chi^2$ の近似は信頼できない。
実践
各カイ二乗の用途とその検定対象を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
適合度検定は分布を確認し、独立性検定は交差集計表を用いる。
実践
検定前に、期待頻度が ______ 未満のカテゴリは統合すべきである。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
χ² 近似には期待値が少なくとも 5 必要であり、小さいものは組み合わせる。
理解できましたか
Key idea
- $\chi^2 = \displaystyle\sum\frac{(O-E)^2}{E}$ — 観測頻度対 期待頻度
- 大きな $\chi^2$ （閾値を超え、上側尾にある）はモデルを棄却する
- 用途: 適合度の検定 と 独立性；5未満の期待頻度は組み合わせる