| English | 意味 |
|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | 連続変数 |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | 確率密度関数 |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | 期待値 |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | 累積分布関数 |
| median/ˈmiːdiːən/ | 中央値 |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | 百分位数 |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | 四分位数 |
Probability as area
- For a continuous variable 连续变量 — a height, a waiting time — no single exact value has a probability; there are infinitely many.
- Instead, probability is the area under a curve, the probability density function 概率密度函数 $f(x)$. The whole area is $1$.
The density function and expectation 期望
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, and the total area $\int f = 1$.
- The mean of any function of $X$:
Probabilities are areas under f(x); the total area over the whole range is exactly 1.
連続型確率変数
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
連続変数において、確率は密度曲線下の面積である。
確率密度関数の全面積に必ず必要なのは何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
確率密度関数は定義域全体で積分すると 1 になる。
The cumulative distribution function 累积分布函数
- The CDF accumulates probability from the left:
- It runs from $0$ to $1$, and differentiating recovers the density: $f(x) = F'(x)$.
The CDF $F(x)$ rises from 0 to 1; the median is read off where it reaches a height of 0.5
累積分布関数 F(x) が与えるのは：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
F(x) = P(X ≤ x)、x までの蓄積面積。
CDF を微分すると密度が得られる：f(x) = F-______(x)。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
f(x) = F′(x)：密度は CDF の導関数である。
Worked example — the median 中位数
- The median $m$ splits the area in half: $F(m) = 0.5$.
- For $f(x) = \tfrac12 x$ on $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, so $\tfrac14 m^2 = 0.5$ gives $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Percentiles 百分位数 work the same way. The lower quartile 四分位数 solves $F(x) = 0.25$; the 90th percentile solves $F(x) = 0.9$. Always set $F$ equal to the fraction you want.
f(x) = ½x [0,2] に対して、F(x) = ¼x² である。中央値は ¼m² = 0.5 を満たす。m はいくつか。（小数点以下2桁）
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¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
連続分布の中央値 m は次の条件を満たす：
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中央値は面積を半分に分ける：F(m) = 0.5。
Density is not probability
$f(x)$ can exceed 1. A density isn't a probability — only the area is. A tall narrow peak can have $f(x) > 1$ as long as the total area stays $1$.
- Use cumulative distribution functions (CDFs) to find probabilities and percentiles, and the CDF of a related variable.
確率密度 f(x) は 1 より大きいことがある。
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面積は 1 以下であればよく、狭い区間で密度自体が 1 を超えても構わない。
You've got it
- probability = area under $f(x)$; total area $= 1$ (density itself can exceed 1)
- the CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, and $f = F'$
- the median solves $F(m) = 0.5$; percentiles solve $F(x) =$ that fraction