| English | 意味 |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | 抵抗力 |
| position/pəˈzɪʃn/ | 位置 |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 連鎖法則 |
| separable/ˈsepərəbl/ | 変数分離可能 |
| separate/ˈseprət/ | 分離 |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | 積分 |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | 境界条件 |
力が常に変わり続ける場合
- 地球付近の重力は概ね一定だが、惑星の引力、車の空気抵抗、磁力などはすべて位置によって変わる。
- 位置に依存する力には、ニュートンの法則のより高度な形が必要となる。
位置を関数とする加速度
- 力（したがって加速度）が位置 $x$ に依存する場合、加速度を以下のように書き換える：
- これは連鎖律によるものである：$\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$。
力が位置に依存する場合、行われた仕事はF-xグラフの下の面積である
可変力からの仕事
W = ∫ F dx
力が変化するとき、行われた仕事 は 力–距離グラフの曲線下の面積 である。
力が位置 x に依存するとき、加速度は以下のように書くのが最適である：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx —— 力が x に依存する場合に便利な形。
恒等式 a = v dv/dx は ______ の則りから導かれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx は連鎖の則りによる。
F = ma を微分方程式に変換する
- 代入すると $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ が得られる — $v$ と $x$ を結びつける分離可能な微分方程式。
- 変数を分離する（$v\,dv$ を片方、$x$ を他方に集めて）積分する。
どちらを使うべきか。 力が時間に依存する → $a = \dfrac{dv}{dt}$ を用いる。力が位置に依存する → $a = v\dfrac{dv}{dx}$ を用いる。正しいものを選ぶことが半分の勝利である。
a = v dv/dx を F = ma に代入すると、v と x に関する分離可能な微分方程式が得られる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
F(x) = mv dv/dx は v dv と x の式に分離でき、積分できる。
力が時間 t に依存する場合、加速度の自然な形は以下の通りである：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
時間に依存する力 → a = dv/dt；位置に依存する力 → a = v dv/dx。
解法
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- $F = ma$ を $a = v\dfrac{dv}{dx}$ で書く。
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- 分離：$v$ 項を $dv$ とまとめ、$x$ 項を $dx$ とまとめる。
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- 両辺を積分し、境界条件を適用して $v$ を $x$ の関数として求める。
- 力が位置に依存する場合、$a=v\,dv/dx$ を持つ可変力として扱う。
位置に依存する力による運動の解法の手順を並べ替えよ。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
v dv/dx で式を立て、変数を分離し、積分した後に条件を用いて定数を決める。
理解できましたか
- 位置に依存する力については、$a = v\dfrac{dv}{dx}$ を用いる（連鎖律より）
- これにより $F = ma$ は $v$ と $x$ における分離可能な微分方程式となる
- 分離して積分し、$v$ を $x$ の関数として求める