| English | 意味 |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程式 |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | 積分因子 |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 一般解 |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | 補関数 |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | 補助方程式 |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | 境界条件 |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初期条件 |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | 特解 |
未知数が関数である場合
- 通常の方程式は数値を求めるものですが、微分方程式は変化率に関するルールを与えられたときに、一つの関数全体を求めるものです。
- 冷却されるコーヒー、増殖する人口、充電されるコンデンサ、振り子などのモデル化に使われます。
一次線形微分方程式：積分因子
- $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$ については、両辺に積分因子を掛けてください：
- これにより左辺が $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$ に集約され、両辺をそのまま積分できます。
** worked example.** $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$ 。ここで $P = 2$ なので、 $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$ 。左辺は $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$ になります。
微分方程式
dy/dx = a y
方程式は everywhere で傾きを設定し、解はその傾きに従う。
dy/dx + 2y = eˣ について、積分因子 μ = e^(∫2 dx) は：
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∫2 dx = 2x なので、μ = e^(2x) である。
積分因子を両辺に掛けると左辺が d/dx(μy) となり、そのまま積分できる。
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これが積分因子の根本的な理由である——左辺を完全微分形にするためだ。
二階定数係数
- $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$ に対する一般解は2つの部分から成ります：
- 補関数（CF）は補助方程式 $am^2 + bm + c = 0$ から導かれます。
一定係数の線形方程式の一般解は：
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一般解 = 補関数（RHS = 0）+ 部分積分。
補助方程式の解を読む
- 補助方程式の解が補関数の形を決定します：
| 解 | 補関数 |
|---|---|
| 実数で異なる $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| 重複 $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| 複素数 $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
微分方程式には一連の解曲線（族）が存在しますが、境界条件によってその中から一つが選ばれます。
y″ − 5y′ + 6y = 0 について、補助方程式は m² − 5m + 6 = 0 である。その大きい根は何か？
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m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0 なので、m = 2 または 3；大きい方は 3。
各補助方程式の根の種類と、それに対応する補関数を結びつけよ。
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異なる実数根には2つの指数関数が対応し、重解には x の因子が追加され、複素根には振動しながら指数スケールされる形が対応する。
境界条件
- 定数 $A, B$ は境界条件または初期条件（例： $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ ）によって固定されます。
- これがない場合は全体の解の族になり、これがある場合に限り、適合する一本の曲線が特定されます。
- 置換法または分離可能変数法で微分方程式を解き、初期条件を適用して特解を得ます。
任意定数 A と B は ______ 条件によって決定される。
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境界条件や初期条件（例：y(0) = 1）が A と B を決定する。
理解できましたか
- 一次線形：$\mu = e^{\int P\,dx}$ を掛けてから積分する
- 二階：一般解 = 補関数 + 特解
- 補関数は補助方程式から得られます。境界条件によって定数が決定されます。