| English | 意味 |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | 棣莫フの定理 |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | 極座標形式 |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | 偏角 |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 絶対値 |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | 虚部 |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | 単位根 |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | 単位円 |
冪の計算、簡単な方法
- $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ を長い方法で計算するには、10回も掛け算する必要があります。
- ド・モワブールの定理なら一行で完結——さらに特典として、円を等分割することもできます。
ド・モワールの定理
- 極形式の複素数： $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 。
- ド・モワブールの定理 — 任意の整数 $n$ について：
- 冪をとることは、偏角を $n$ 倍し（絶対値を $r^n$ 倍）ます。
Complex numbers
z = x + yi
Plot z as a point: its distance from O is the modulus, its angle the argument.
De Moivre's theorem states (cos θ + i sin θ)ⁿ equals:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Raising to the power n multiplies the argument by n: cos nθ + i sin nθ.
多角度の展開
- $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ の実部と虚部を比較することで恒等式が得られます。
- worked example: 立方の実部は $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ を与える。
Using de Moivre, cos 3θ expands to:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Take the real part of (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ.
単位根
- 方程式 $z^n = 1$ にはちょうど $n$ の解があり、それらは $n$ 次単位根 です。
- それらは単位円上にあり、 $\dfrac{360^\circ}{n}$ ずつ間隔をおき、 $1$ から始まります。
$z^5 = 1$ の5つの解は単位円周上にあり、$72^\circ$ ずつ離れて配置され、完全な五角形を形成する。
なぜ均等か？ 各解の絶対値は $1$ で、偏角は $\dfrac{360^\circ k}{n}$ （$k = 0, 1, \dots, n-1$ について）なので、連続する解間の角度差は一定です。
How many distinct roots of unity does the equation z⁵ = 1 have?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
zⁿ = 1 has exactly n roots, equally spaced on the unit circle; here n = 5.
The fifth-roots of unity are equally spaced on the unit circle. How many degrees apart are consecutive roots?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
360°/5 = 72° between consecutive roots.
The n roots of unity are equally spaced around the unit circle.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
They sit at equal angular gaps of 360°/n around the circle.
よくある間違い
ド・モワブール定理はまず極形式が必要です。 $(1 + i)^8$ は $1^8 + i^8$ と等しくありません—— $1+i$ を $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ に変換し、 $r = \sqrt2$ 、 $\theta = 45^\circ$ を用いてその後定理を適用してください。
- $\cos$ / $\sin$ の項からなる級数の和は、複素数の複素和 $C + \mathrm{i}S$ を用いて求めます。
Before applying de Moivre to (1 + i)⁸, you must first write 1 + i in ______ form.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Convert to r(cosθ + i sinθ) first, then raise to the power.
理解できましたか
- ド・モワブール: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- 多角度を展開し、例として $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ など
- $n$ 単位根は単位円周上で $\dfrac{360^\circ}{n}$ ずつ均等分布する