| English | 意味 |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 多項式 |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | マクローリン級数 |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 微分法 |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | 双曲 |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 係数 |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | 収束区間 |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | 発散 |
How does a calculator find eˣ?
- Your calculator can't "do" $e^{0.7}$ directly — there's no button-press that knows it.
- Instead it adds up a few terms of a polynomial 多项式 that mimics $e^x$ near zero.
- That polynomial is a Maclaurin series 麦克劳林级数 — and building one starts with repeated differentiation 微分.
New derivatives to know
- Further Pure 2 adds derivatives of the hyperbolic 双曲 and inverse functions:
| function | derivative |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- You can also find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ for implicit and parametric curves.
Each extra Maclaurin term hugs e^x over a wider range
ある点における勾配
勾配 = dy/dx
導関数とは、どのような複雑な関数であっても、その接線の傾きである。
sinh x の導関数は：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
d/dx(sinh x) = cosh x （および d/dx(cosh x) = sinh x）。
tan⁻¹x の導関数は 1/(1+x²) である。この値を x = 0 で評価せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
1/(1+0²) = 1.
各関数をその導関数と対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
双曲線関数のペアは入れ替わる（sin/cos と異なり、マイナス符号はない）；逆三角関数の導関数は標準的な有理式/根号形式である。
Maclaurin's series
- A Maclaurin series rebuilds a function as an infinite polynomial using its derivatives at $0$:
- Each coefficient 系数 needs the next derivative, evaluated at $x = 0$.
マクローリン級数において、定数項は f(0) である。f(x) = eˣ において、f(0) は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
e⁰ = 1 なので、定数項は 1 である。
マクローリン級数において、xⁿ の係数には n!（n ファクトリアル）が ______ に含まれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
xⁿ の項は f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ であり、n! は分母にある。
Worked example — the series for eˣ
- For $f(x) = e^x$, every derivative is $e^x$, and $e^0 = 1$. So every coefficient is $\dfrac{1}{n!}$:
Each extra term bends the polynomial closer to $e^x$ near $x = 0$ — exactly how a calculator works.
More standard series. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ and $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (valid for $|x| < 1$).
eˣ のマクローリン級数は次のように始まる：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Where the series is valid
- A Maclaurin series only matches the function within its interval of convergence 收敛区间.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ converge for all $x$; but $\ln(1+x)$ only for $-1 < x \leq 1$.
Check convergence before you trust it. Far outside the valid interval the polynomial diverges 发散 wildly from the function — more terms make it worse, not better.
- Differentiate hyperbolic functions and inverse functions, and relations given implicitly or parametrically.
ln(1+x) のマクローリン級数はすべての x の値に対して有効である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
それは −1 < x ≤ 1 の範囲でのみ収束し、それ以外の区間では発散する。
You've got it
- new derivatives: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — more terms fit better, within the interval of convergence