| English | 意味 |
|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | 二次 |
| root/ruːt/ | 根 |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 係数 |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | 三次 |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 置換 |
方程式に隠された秘密
- どの二次方程式にも2つの数、すなわち解が隠れている。方程式を解くことなく、それらの和と積を見つけることができる。
- 解と係数の間のこれらの関係性は、page 代数を必要とする問題を解き明かす鍵となる。
二次方程式の解
- $ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha, \beta$ の場合：
** worked example.** $2x^2 - 7x + 3 = 0$。解の和は $= \dfrac{7}{2}$、積は $= \dfrac{3}{2}$。確認：解は $3$ と $\dfrac{1}{2}$ ：和 $= 3.5$ ✓、積 $= 1.5$ ✓。
二次方程式の解とそれらが係数とどう関連するか
多項式の解
y = ax³ + bx² + cx + d
解とは曲線がx軸と交わる点であり、それらの和と積は係数と関連している。
x² − 5x + 6 = 0 において、解の和 α + β = −b/a は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
α + β = −b/a = −(−5)/1 = 5.
x² − 5x + 6 = 0 において、解の積 αβ = c/a は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
αβ = c/a = 6/1 = 6.
三次方程式の解
- $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の解が $\alpha, \beta, \gamma$ である場合：
- $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$.
符号に注意。 解の和は $-\dfrac{b}{a}$ （負）であり、3つの解の積は $-\dfrac{d}{a}$ （これも負）である。符号を間違えるのが最も一般的なミスである。
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 において、解の和 Σα = −b/a を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Σα = −(−6)/1 = 6。（解は 1, 2, 3：和 = 6。）
ax³ + bx² + cx + d = 0 において、解の積 αβγ = d/a である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
3つの解の積は αβγ = −d/a （負）であり、d/a ではない。
各解の関係に対応する公式（最高次項の係数を a とする）を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
二次方程式：α+β = −b/a, αβ = c/a。三次方程式：Σα = −b/a, αβγ = −d/a（符号は次数ごとに交互）。
解の変換
- 解を単純に変えた新しい方程式を求めるには、置換（例：$w = \alpha + 1$ ）を用いる。
- 例：$x^2 - 5x + 6 = 0$ ($\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=6$) → 解 $\alpha+1,\beta+1$ は和が $7$、積が $12$ なので、$x^2 - 7x + 12 = 0$。
α + β = 5 かつ αβ = 6 のとき、(α+1)(β+1) の値はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(α+1)(β+1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 5 + 1 = 12.
worked example — $\alpha^2 + \beta^2$ を求める
- $x^2 - 5x + 6 = 0$ が与えられ、解が $\alpha + \beta = 5$ , $\alpha\beta = 6$ の場合。
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13$.
- $\sum\alpha$ のような式は解に対する対称関数である。
x² − 5x + 6 = 0 において、α² + β² = (α+β)² − 2αβ を用いて求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(α+β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
理解できましたか
- 二次方程式：$\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$ , $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$
- 三次方程式：$\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$ , $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ , $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$
- 置換を用いて解を変換する