電磁気学

これは大学電気工学コースの第7回です： 電磁気学 — あらゆる回路、アンテナ、 モーターの根幹となる物理学です。回路は導線内の電磁場を隠蔽しますが、本コースではその箱を開きます。

• 単元 7.1 はベクトル解析ツールキット回顾（EE02's演算子、今や 座標系と対称性を含む）。
• 単元 7.2–7.4 は静力学を構築：静電気学、静磁気学、および 統合されたマクスウェル方程式。
• 単位7.5–7.6は波を伝播させ、伝送線路に供給する。
• 単位7.7は導波管とアンテナを開く。

この連想物語は一つのリンクです: 3 GHzの無線接続が2枚の基板間で ベンチ上にある——その電場、その波、そのケーブル、その導波管、そのアンテナ。すべての 以下の場解答は2通りで計算される（ガウス法 vs 直接積分；アンペール vs ビオ-サヴァール）、すべての波の答えは極限ケースに対して検証されます (自由空間、完全伝導体、直流)。

なぜ重要か。 携帯電話のGPS受信機は−130 dBmを感知します；これが 機能するかどうかが発散と回転によって決定されます。EE02の演算子は 文法に相当します；ここでは座標を取り、実幾何学を扱いやすくする対称性の簡略化法を学びます。 概念と図解。 電場には体積あたりの流出量（

発散）と面積あたりの循環量（回転）があります。 発散）および面積あたりの循環（コイル）。 積分。 対称性 → 球面におけるガウスの法則（$dA = r^{2}\sin θ\,dθ\,dφ$）； 一つの立方体、二つの経路：$dA = r\,dφ\,dl$x を箱内で積分するか、またはその面の流量を数える 導出。 ガウスの定理は、

導出。 発散定理

閉曲面を通じた場の総流出が、その源の体積 積分に等しいことを示す。対称的な源の場合、表面積分 $E \times A$に収束します。したがって、場を求める式は1行で済みます — この 1行が、このコースのガウスの法則のすべての例題です。

Worked example 1 — divergence with coordinates. Take $\mathbf{F} = (3x^{2}, 0, 0)$: $\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial(3x^{2})/\partial x = 6x$ とし、点 点 $(2, 0, 0)$ で発散は単位体積あたり 12 となる。 点 $(−2, 0, 0)$ で確認する：場は依然として $+x$ に沿って向いている（$3x^{2}$ は決して 負ではない）、しかし発散は −12 — 符号は場の変化 （源密度）の追跡を示しており、どの方向を向いているかではなく。

計算例 2 — 立方体における定理。 $\mathbf{F}$ の 単位立方体 $[0,1]^{3}$ を通り出るフラックスを、体積分の経路で求めると： $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 6x\,dx\,dy\,dz = 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 3$ 。面積分の経路では、 表面ルート：$x = 1$ の面のみがfluxを持つ $3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$（$x = 0$面には$3x^{2} = 0$があり、他の4つは $\mathbf{F}$に平行である）— 合計3 ✓。両経路とも、数値が一致する：定理は 常に確認可能な会計恒等式である。

よくある間違い。 $r^{2}$を積分して$1/r^{2}$を微分する (ガウスの例の多くはこの1段階を隠している — 両方を明示的に記す)。忘れる $dA = r^{2}\sinθ\,dθ\,dφ$ に $r^{2}$ があることを忘れることで、これが場の $1/r^{2}$ — この相殺こそが手法である。そしてガウスの法則を適用して 非対称な源に適用する場合：対称性がなければ$E \times A$も短縮法もない。

まとめ。 発散＝流出密度、ローテーション＝循環密度； 対称性が曲面を選び、ガウスの定理は二つの経路による検証である これにより、ここでのすべての答えが自己検証可能となる。

重要性。 どのコンデンサも、どの絶縁破壊も、どのタッチセンサーも、 部品のラベルを付けた静電気の問題に過ぎない。

イメージと図。 点電荷のクーロン場が、 $E = q/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2})\,\hat{r}$でガウスの法則に集約され、

対称性により、積分は算術計算に変換される：球対称な 源の場合、$E \cdot 4\pi r^{2} = Q_{enc}/\varepsilon_{0}$。

導出。 半径 $a$ の一様に帯電した球体内部で、 enclosed charge（内包電荷）は$r^{3}$に比例して増加し、ガウス球面の面積は$\rho$に比例して増加する： 球体の表面積は $r^{2}$ に比例して増加する：

ポテンシャルは電場の積層である： $V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$；孤立球体の 孤立球体から導かれる結果は、$C = Q/V = 4\pi\varepsilon_{0}a$ であり、cm あたり約 1.1 pF となる 半径の場合、なぜ自由空間内の物体はほとんど結合しないか。誘電体界面において 法線成分の$E$が自由表面電荷に応じて不連続になることである。 $D = \varepsilon E$ が任意の自由表面電荷によってジャンプする。

1 cmの場合：表面で$\rho = 1\ \mu\text{C/m}^{3}$、両方の公式が and $a = 2$ cm: at the surface $r = a$, both formulas give $E = \rho a/3\varepsilon_{0} = (10^{-6} \cdot 0.02)/(3 \times 8.854 \times 10^{-12}) = 753$ V/m ✓ one value, two routes. At $r = 4$ cm (double the radius) the outside form は$753/4 = 188$ V/mを与え——$1/r^{2}$減衰であり、オクターブ分外側へ。

** worked example 2 — 誘電体へ拡張する。** 同じ自由 電荷密度を維持し、均質かつ線形な誘電体がすべての空間（ 帯電領域の内外）を満たすと仮定する。$\varepsilon_{r} = 4$ において、電場 至る所で4倍低下し、表面値は188 V/mとなる。この 分極 は $E$ と変化し、同じ自由電荷に対して $D = \varepsilon E$ は不変である。球体内の 結合電荷は $Q_{bound} = -(1 - 1/\varepsilon_{r})Q_{free} = -0.75Q_{free}$. 帯電体積全体に分布している。追加の境界 $r = a$における表面電荷はない。両側で誘電体が同一であるため 分極が連続的だからである。真空に囲まれた誘電体球は異なる境界値問題である。 差を結合電荷として扱う。

よくある間違い。 幾何学が円筒であるにもかかわらず $4\pi r^{2}$ を用いる ($2\pi r l$)。問題の途中で $\varepsilon_{0}$ と $\varepsilon = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ を混同する — 形式を球体の内部に適用すること：ガウスが見るのは全電荷ではなく、 閉じ込められた電荷です。 ガウスは見る。

まとめ。 ガウスの法則と対称性：$E \times A = Q_{enc}/\varepsilon$； 球体は内部で線形に成長し、外部では $1/r^{2}$ に従って減少し、 表面で一致する。誘電体は場を $\varepsilon_{r}$ で割り、 difference as bound charge.

条件が整ったとき用いられる。 同様の法則 pair から始まる。 対称性は優しい。

概念と図。 電流は磁場を作る。ビオ・サヴァル則 は各電流素元の寄与を積分する；アンペールの 法則** $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}I_{enc}$ は磁場を 電流の周りに巻きつける。単位7.1からの対称性テストが、どちらを使うべきかを決定する。

矩形アンペールループは巻線を切断します。外側の長い辺は寄与せずゼロになります*

導出。 単位長辺り$n$巻の無限ソレノイドについて、 長い側面の一つを内部に持つ長方形のアンペリアンループを取る（長さ$l$）、 一つを外部に、短い側面を巻線に跨がせる。囲まれた 電流は $n l I$ であり、無限ソレノイドの外部場は 相殺され、短い辺も寄与しません（磁場が垂直であるため それらに平行である）。よって$B \cdot l = \mu_{0} n l I$：

磁束 $\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$ は、 自己誘導 $L = N\Phi/I$ に繋がり；ソレノイドについては$L/l = \mu_{0}n^{2}A$となる。この ローレンツ力 $\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ が運動電荷を 半径 $r = mv/qB$ の円に曲げる — シクロトロン軌道である。

** worked example 1 — ソレノイドの数値計算。** 単位長辺り$n = 1000$巻および $I = 2$ Aの場合：内部に$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 2 = 2.51$ mTの一様な磁場、 軸に沿って均一。ビオ・サヴァルによる確認では千回のループの積分を行う必要があり、 これが対称性テストを最初に行う理由である：ページ全体分の計算を一行で済ませるため。

** worked example 2 — 軌道と力.** $1\ \mu$ C の電荷が $10^{6}$ m/s で $1$ T の磁場に対して垂直に移動すると、 $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{6} \times 1 = 1$ N の力を受け、半径 $r = mv/qB$ で円運動をする：電子の場合（$m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg）、 $r = (9.11 \times 10^{-31} \times 10^{6})/(1.6 \times 10^{-19} \times 1) = 5.7\ \mu$ m —— これは、 シクロトロン半径は、マグネトロンのスペクトロメータの幾何学を決定する。 速度を確認せよ：$10^{6}$ m/s の電子は 2.85 eV を持つ — 十分に 非相対論的であるため、この式は正確である。

一般的な間違い。 アンペールの法則には全 enclosed 電流が必要であることを忘れています 電流（ループに $N$ 回転 → $NI$）。$\mathbf{B}$ が連続していると仮定 重要性。 すべてのラジオ、すべての光子、すべての充電器のワイヤレス結合は、 Maxwell がループを完成させるために加えた単一の項に依存している。 $\mu_{0}K$）。そして短コイルに対してソレノイド公式を使用する：「無限大」 長さが直径 ≫ 、あるいは磁場が弱く不均一であることを意味する。

要約。 アンペールと対称性：$B \cdot l = \mu_{0}I_{enc}$；無限大 ソレノイドはフラックスを集中させ、$B = \mu_{0}nI$、$L/l = \mu_{0}n^{2}A$；移動 charge circles at $r = mv/qB$.

なぜ重要か。 全てのラジオ、全ての光子、すべての充電器のワイヤレス 結合は、マクスウェルがループを閉じるために追加した一つの項に依存している。

概念と図解。 静電学 ＋ 変位電流 セットを完成させる：

4つの箱はループを形成しており、$\mathbf{E}$ が循環することで変化が生じる $\mathbf{B}$、循環する$\mathbf{B}$が変化する$\mathbf{E}$ —— 自己維持される 波である。

導出。 電荷保存 $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$ 補正を強いる：元のアンペールの法則の発散を取る ($\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J}$) と左辺は恒等的にゼロである 一方、右辺は$-\mu_{0}\partial\rho/\partial t$ —— 電荷が蓄積するたびにゼロではない $\mu_{0}\varepsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t$を追加することで修復される。なぜなら、 ガウスの法則がその項の発散をちょうど 例題 $+\mu_{0}\partial\rho/\partial t$ — コンデンサの欠落しているアンペア。 平行板

コンデンサが 1 A で充電されている。極板間には伝導 容量器の充放电が$dQ/dt = 1$ Aの時に相当するためである。極板の間には伝導 電流が存在しても、導線を取り囲むアンペールループで測る値は同じ 1 A でなければならない。どの表面を使って span するかに関わらず。plates 間では $E = Q/(\varepsilon_{0}A)$, so $\varepsilon_{0}A \cdot \partial E/\partial t = dQ/dt = 1$ A ✓ — 変位電流は実質的に伝導電流であり、数値上等しい。

** worked example 2 — 波速度への展開。** 無源空間において ($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), take the curl of the $\mathbf{E}$ curl equation and $\mathbf{B}$ を代入する:

速度 $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$ の波動方程式を得る。これを代入する 数値に代入: $1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} = 3.0 \times 10^{8}$ m/s — 光, 実験台で測定された二つの定数から代入する。リンク予算は ここから物語が始まる。

よくある間違い。 変位電流を単なる簿記上の任意の項として扱うこと (これは式が整合性を持つための要素であり、波を伝搬させるものでもある)。 どの式にマイナス符号があるかを忘れないこと（ファラデーの法則：レンツの法則であり、 誘起電場が変化に逆らう）。そして静的な 形式をアンテナに適用すること：放射とは、補正項がその役割を果たしていることである。

まとめ。 4つの式、1つのループ；変位電流が電荷保存則を完結させ、 保存則を用い、真空内で波動方程式を導く $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$.

重要性。 Wi-Fi、レーダー、太陽光、およびリンク・バジェットの 3 GHz キャリアはすべて同じ解である：平面波である。

図付きの考え方。 源のない空間では、波動方程式の 最も単純な解は平面波です：$\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$および 伝播方向が互いに直交し、同位相であり、 $B = E/c$ は自由空間における 真空の$\eta_{0} = \sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} = 377\ \Omega$が $E$と$H$の比を定めます；ポインティングベクトル$\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ 伝播方向に沿った点で $S = E^{2}/\eta_{0}$ （瞬間値；rms $E$ の値の場合、これは平均電力密度であり、振幅を持つ正弦波 $E_{0}$ は平均して $E_{0}^{2}/2\eta_{0}$ となる）。

導出. $\mathbf{E} = E_{0}\cos(\omega t - kz)\,\hat{x}$に対して、ファラデーの 法則は$\partial B/\partial t = -\partial E/\partial z$を与え、積分して $B = (k/\omega)E = E/c$となる。電力密度はインピーダンスから得られる： $H = E/\eta_{0}$、したがって$S = E \times H = E^{2}/\eta_{0}$ — 波あたり1つの数値.

** worked example 1 — 数値を読み取る。** 100 V/m (rms) の波が 1 MHz で： $B = 100/(3 \times 10^{8}) = 0.333\ \mu$T；波長 $\lambda = c/f = 300$ m；電力密度$S = 100^{2}/377 = 26.5$ W/m². 確認 インピーダンス経路：$H = 100/377 = 0.265$ A/m、そして$E \times H = 26.5$ ✓ — 2つの経路が一致するのは、同じ比だからである.

** worked example 2 — 導体表面まで拡大.** 良好な 導体**では、波は$e^{-\alpha z}$として減衰し、スキン深さ $\delta = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$. 銅（$\sigma = 5.8 \times 10^{7}$）：50 Hzで、 $\delta = \sqrt{2/(2\pi \cdot 50 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 5.8 \times 10^{7})} = 9.3$ mm； at 1 GHz, $\delta = 2.1\ \mu$m — about 4500 times thinner for twenty 二十億分の之一的（$\delta \propto 1/\sqrt{f}$ ✓）。この1つの数字が 遮蔽が機能する理由、RF電流が表面を伝搬する理由、そして ベンチリンクの3 GHzトレースは広く滑らかな銅が必要：3 GHzでは電流が 最上部の1.2 µmにおいて、表面粗さおよびその場所のメッキが損失を決定する（金 メッキは腐食を防ぐが、銅より導電性が悪い）。

** 一般的な間違い。** 誘電体中に$c$を使用すること — そこでの速度は $1/\sqrt{\mu\varepsilon}$（≈ 0.67c：下記の同軸ケーブル内）。$E/H$（377 Ω）を混合 空間) に $E/B$ ($c$ — 速度であり、インピーダンスではない)。そして 波の電界と磁界は、無損失媒質内でのみ位相が一致する。

要約。 平面波: $E \perp B \perp \hat{k}$, $B = E/c$, $S = E^{2}/\eta_{0}$; 導体は波を $e^{-z/\delta}$ として吸収する。 $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$.

重要性。 ベンチリンクの2枚の基板は 40 cm の 同軸ケーブル内；3 GHzにおいて、これは波長6倍であり、回路ではなく、 伝送線路である。

概念と図解。 テレグラファー方程式 は、 配線として分布したインダクタンス$L'$と静電容量$C'$/m: $\partial v/\partial x = -L'\partial i/\partial t$ および $\partial i/\partial x = -C'\partial v/\partial t$。それらの解は電圧・電流 $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$およびラインの特性インピーダンスを持つ波である $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$.

導出。 $x$の第1式と第2式を微分し、 $t$内の$\partial^{2}i/\partial x \partial t$を消去して、$v$に対する波動方程式を得る。 速度$1/\sqrt{L'C'}$を持つ。負荷$Z_{L}$における整合条件から、 反射係数$\Gamma = (Z_{L} - Z_{0})/(Z_{L} + Z_{0})$が得られる：短絡の場合 ($\Gamma = -1$) 反転、開放 ($\Gamma = +1$) 電圧倍増・電流打ち消し — バウンスダイアグラム はすべての反射を追跡する。 電流が打ち消される——バウンス図はすべての反射を追跡する。

** worked example 1 — 実際の同軸ケーブル。** RG-316 類の同軸ケーブルに $L' = 250$ nH/m および $C' = 100$ pF/m： $Z_{0} = \sqrt{250 \times 10^{-9}/100 \times 10^{-12}} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega$ ✓（この 標準ケーブル — 数値はこれに合わせるために選ばれた）； $v_{p} = 1/\sqrt{250 \times 10^{-9} \times 100 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{8}$ m/s = 0.67c。ベンチリンクの 40 cm の部分は、3 GHz で 6 波長である （$\lambda = v_{p}/f = 6.7$ cm）— ベンチ上の部品を用いて「回路ではなく伝送線」であることを実証する ためのもの。

** worked example 2 — 開口端ステップ。** 50 Ω の transmission line を 12 V ステップで駆動し、開路とする。入射波は 12 V および $12/50 = 0.24$ A。開放端では、$\Gamma = +1$：反射波＋12 Vが倍化し 負荷電圧を24 Vとし、反射電流$-0.24$ Aが電流を打ち消す。 VSWR は無限大に近付くが、開路状態のシグネチャとして standing-wave メーターが読み取る値となる。 VSWRが無限大に近づくため、開放回路の特性は定在波の 計器の読み値となる。

一般的な誤り。 $Z_{0}$を物理的な抵抗として扱う（それは ratio; a lossless 50 Ω line dissipates nothing). Computing $\lambda$ with $c$ instead of $v_{p}$ (30% error in PTFE). And forgetting the source-side それを含める必要がある。 include it.

Summary. $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$, $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$; $\Gamma = (Z_{L}-Z_{0})/(Z_{L}+Z_{0})$; opens double voltage, shorts cancel it; 長い線は電磁波であり、バウンス図は記録である。

なぜ重要か。 ~10 GHz以上では同軸ケーブルの損失が大きすぎるため、ベンチリンクの バックホール（およびすべてのレーダー）は中空パイプに移行し、 any radio link is always an antenna.

イメージ付きの概念。 中空導波管は、特定のモードのみを伝送する。 ガイドの 波長 が伸長する： カットオフ周波数 $f_{c} = c/(2a)$ で遮断される（$a$ は幅方向寸法）。カットオフ以上では、 より多くの波長が収まる。アンテナでリンクを完結させる：半波長 $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1 - (f_{c}/f)^{2}}$ — 波がジグザグするため、より少ない軸方向 周期数が少なくなる。アンテナでリンクを完結させる：半波長ダイポール ダイポール の利得は 2.15 dBi、入力抵抗は ≈ 73 Ω； 鎖中の各dBは設計上の判断であり、最終項は純粋な幾何学

導出. ガイドの plates（極板）の間では、場が 半波長 standing wave（定常波）として$a$に収まる必要がある: $a = \lambda_{c}/2$でカットオフとなるため、したがって $f_{c} = c/2a$. ガイドに沿った伝播定数は $k_{g}^{2} = k^{2} - (\pi/a)^{2}$を満たし、波長について解くことで上記の伸縮公式が得られる。 上記の伸縮率公式。Friisの連鎖式は掛け算である：送信電力 × 両方の 利得 × 拡散係数 $(\lambda/4\pi R)^{2}$ — これは面積比であり、 球面に対するアンテナ開口面積

** worked example 1 — XバンドでのWR-90** WR-90導波管には、 $a = 22.86$ mm：$f_{c} = 3 \times 10^{8}/(2 \times 0.02286) = 6.56$ GHz — Xバンド (8.2–12.4 GHz) はカットオフを超えて伝搬する。10 GHz（$\lambda = 30$ mm）において： $\lambda_{g} = 30/\sqrt{1 - 0.656^{2}} = 39.8$ mm — 自由空間より33%長い。 Check the limit: as $f \to f_{c}$, $\lambda_{g} \to \infty$ (the wave stops); $f \to \infty$に近づくと、$\lambda_{g} \to \lambda$（ジグザグは消失）✓。

** worked example 2 — ベンチリンクの budget** 2つの10 dBi（G = 10） アンテナがベンチ上で1 m離れて配置され、3 GHz（$\lambda = 0.1$ m）で動作時： $P_{r}/P_{t} = 10 \times 10 \times (0.1/(4\pi \times 1))^{2} = 100 \times 6.33 \times 10^{-5} = 6.3 \times 10^{-3}$ — 22 dB の損失であり、ベンチ上では依然として容易である。同じ基板を1 km 離してスケーリングする場合：$(0.1/(4\pi \times 1000))^{2} = 6.33 \times 10^{-11}$、倍率100 $6.3 \times 10^{-9}$（−82 dB）— ディッシュサイズを決定するリンク budget。1つの この式には2つのスケールがあり、その比は純粋な幾何学的関係になる （$R^{2}$、倍率は $10^{6}$ ✓）。

Common mistakes. Using the guide's NARROW dimension for $f_{c}$ (cutoff is set by the wide one). Applying $\lambda_{g}$ as if it were $\lambda$ in Friis (the free-space wavelength belongs there). And quoting dipole gain in dB 利得を dB だけで表記し、「i」を省略すること：2.15 dBi は等放射体に対する 相対値であり、ダイポールに対してはゼロとなる。

まとめ。 導波管：$f_{c} = c/2a$、$\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}}$ （引き伸ばされ、カットオフで無限大になる）。アンテナ：フリーズ $P_{r}/P_{t} = G_{r}G_{t}(\lambda/4\pi R)^{2}$ — 幾何学が最終項を決定する 毎回。