信号とシステム

これは大学電気工学の6番目の科目「信号とシステム」です。 EE04では「この回路は、この周波数で何をするか？」を問いましたが、 本科目はより深い問いを投げかけます。「任意の入力に対して、システムは何をするか？」です。 これは、通信、DSP、制御などの学位課程の基盤となる、3つの変換（畳み込み、フーリエ変換、z変換）を通じて答えられます。 学位（通信、DSP、制御）が構築される基礎である。

• 第6.1単元では、信号とシステムを分類します。
• 第6.2単元では、畳み込みを普遍的な時間領域の解として提示します。
• 第6.3–6.4単元では、周波数領域へ進みます：フーリエ級数/変換とサンプリング。
• 第6.5単元では、EE02で習得したラプラス変換の機構を、システム関数として再利用します。
• 第6.6–6.7単元では離散化を行います：差分方程式とz変換。

一貫したストーリーは、あるオーディオチャンネルです：マイク入力信号、フィルタ、 サンプリュラー、デジタルイコライザ。以下の各変換はこのチャンネルを次の段階へ進め、 すべての答えは、信号エンジニアが検証する方法と同じように確認されます—— 各変換対を少なくとも一度導出し、すべての畳み込みを検証することで 畳み込みを2通り（図形的およびフーリエ積による）で検証し、 すべての離散結果を直接反復計算によってテストすることで。

なぜ重要なのか。 「線形か？ 時間不変か？」は、本科目の分析における最初の2つの問いであり、 これらの答えによって、どの手法を用いるかが決定されます。 すべての機械が許容されるわけではない。

概念、図付き。 シグナルは時間の関数である： 連続時間 $x(t)$ または離散時間 $x[n]$。システムは入力 信号を出力信号にマッピングする。4つの性質が課程に含まれ、それぞれは 一度だけ行い、感覚ではなく厳密に選ばれた一つの入力を用いて検証するテストである：

• 線形性： $ax_{1} + bx_{2} \to ay_{1} + by_{2}$ — 和を入力し、 出力の和を確認する。
• 時間不変性： 入力を $T$ ずらすと、出力も ちょうど $T$ ずれるのみであり、それ以外の変化は生じない。
• 因果律： 時刻 $t$ における出力は、$x$ から $t$ までの値のみに依存する。
• BIBO安定性 BIBO： 有界な入力に対しては必ず有界な 出力が得られる；LTIシステムではこれは次のように簡略化される $\int |h(t)|\,dt < \infty$ — 沖激応答が絶対可積分でなければならない。 可積分である。

導出。 システムのクロックが スケールする場合、時間不変性は失敗する：$y(t) = x(2t)$において、入力を$T$だけシフトすると $y_{shift}(t) = x(2t - T) = x(2(t - T/2))$ — 出力は元の システムの出力は$T/2$だけ遅れるのみとなる。「シフト後システム」と比較 ($x(t-T) \to y(t)$ が引数 $2t$、すなわち $x(2t - T)$) に対して "システム後にシフト" ($y(t - T) = x(2t - 2T)$) は不整合を露呈する 存在する限り — その比較そのものがテストである。

worked example 1 — タイムスケーリングの罠。 $y(t) = x(2t)$は 時間不変か？ $x(t) = u(t)$ を用いると：シフト後→システムでは $x(t-1) = u(t-1) \to u(2t-1) = u(t - \tfrac{1}{2})$；システム後→シフトでは $y(t-1) = u(2(t-1)) = u(t-1)$ 。半分のシフトと完全なシフト — 時間変動✓。進行中のオーディオチャネル内にある2×高速再生段 この方法で完全に失敗する。

worked example 2 — 積分による安定性。 チャネルのルームエコー モデル $h(t) = e^{-t}u(t)$: $\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1 < \infty$ ✓ 安定している。同じフィルタに $h(t) = u(t)$ （積分器）を用いると $\int_{0}^{\infty} 1\,dt = \infty$ — 有界ステップ入力に対して、 無界なランプ出力が生じるため、積分器はBIBO不安定である。しかし、それが 積分は一つ、判定は一つ。

一般的な誤り。 一つの入力で線形性をテストすること（二つの入力と スケールが必要）。図から時間不変であると宣言すること（シフトテストを実行）。 および因果性と安定性の混同：$h(t) = e^{-t}u(t)$ は両方ともだが、 $h(t) = -e^{t}u(-t)$ （反因果、減衰）は安定しており、NOT 因果 — この二つの性質は独立している。

要約. 線形性と時間不変性は畳み込みを可能にします；因果性 は原因と結果の順序を保証し、BIBO安定性は $\int|h| < \infty$ です。すべての 性質は単一のプローブ実験で確認できます。

重要性. 畳み込みは、線形時間不変システムが任意の入力に対して出力を 与える唯一の公式です。変換も伝達関数も不要で、インパルス応答と積分のみで 計算できます。

概念と図。 線形時間不変 システムにおいて、インパルス応答 $h(t)$ がすべてを決定します： 入力を遅延・振幅調整されたインパルスの和に分解します。各インパルス $\delta(t-\tau)\,x(\tau)\,d\tau$ は $h(t-\tau)$ の振幅调整后の出力を生じ、重ね合わせ によってそれらを統合します：

畳み込み は「反転→スライド→積分」です： $h$ を反転させ、 $x$ を通り越してスライドさせ、各出力値は重なり合う部分の面積となります。

導出. サイフィング（篩い）: $x(t) = \int x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau$ 。 線形性により積分記号を外せ、時間不変性により $\delta(t-\tau) \to h(t-\tau)$ に変換されます。結果は畳み込み積分であり、 3つの性質から1つの公式へ。

** worked example 1 — 古典的なステップ応答。** チャンネルのフィルタ $x(t) = u(t)$ を $h(t) = e^{-t}u(t)$ に変換します： $t \ge 0$ における重なり部分は $\tau \in [0, t]$ なので、

端点を確認します： $y(0) = 0$ ✓ （入力到来前には出力なし）； $y(\infty) = 1$ ✓ (DC利得 1 — 実際には $H(0) = 1$)。$t = 1.5$において、 $y = 1 - e^{-1.5} = 0.777$ — 図中の陰影付き重複領域。

** worked example 2 — パルスへ拡張する 。今度こそ 2 秒の長方形 入力高さ 1 （保持された音）を同じフィルタに入れる。2つのチェックポイント $t=0$。$t=2$において： $y(t) = (1 - e^{-t})u(t) - (1 - e^{-(t-2)})u(t-2)$. $t = 1$ において: $1 - e^{-1} = 0.632$. $t = 3$ において: $(1 - e^{-3}) - (1 - e^{-1}) = e^{-1} - e^{-3} = 0.318$ — the release tail. Check the peak at $t = 2^-$: $1 - e^{-2} = 0.865$、および $t = 2^+$ における第2項 ** 一般的な間違い。 フリップ（畳み込みはNOT $-1$ の不連続点 — ノート・オフとして耳が聴くキック音。

一般的な誤り。 フリップ（畳み込みは必ずしも ** 要約。** $\int x(\tau)h(\tau)\,d\tau$；フリップ、スライド、積分；幅は加算される 0 にある（$(-\infty,\infty)$ ではなく、重なり窗口が機能する）。また $x * h = x \cdot h$ を仮定する — 乗算は周波数領域で生じるものであり、 時間領域では決して起こらない。

まとめ。 $y = x * h$; フリップ、スライド、積分; 幅は加算される ($W_{1} + W_{2}$); 可換的; カスケードは畳み合わされる。後述のすべての変換は この積分を避けるために存在する。

重要性。 チャンネルのノイズ、調波、イコライザー 帯域 — すべて周波数領域で存在します。フーリエ変換が橋渡しとなり、 その畳み込みから積への性質がフィルタ設計の根拠です。 会う予定だ。

**図解による解説。**周期信号は調和成分に展開されます。 (EE02's series); フーリエ変換はこの概念を非周期信号に拡張します： 時間領域での畳み込みは周波数領域での積になります：

時間領域での畳み込みは、周波数領域での乗算に等しい： $Y(\omega) = X(\omega)H(\omega)$ — この全分野の根幹となる性質 である。

**導出過程。**振幅 $A$、幅 $\tau$ で 0 を中心とする長方形パルスについて：

sinc関数となります。$\omega = 0$ における変換値は面積 $A\tau$ に等しく ($\mathrm{sinc}(0) = 1$ がこれを返す ✓)；最初の零点は $\omega\tau/2 = \pi$ 、つまり $f = 1/\tau$ です — これは時間-帯域幅トレードオフです。 .

演習例 1 — チャンネルのパルス予算。 1 ms のクリック ($A = 1$, $\tau = 10^{-3}$ s): $X(f) = 10^{-3}\,\mathrm{sinc}(f \cdot 10^{-3})$, 最初の零点が $f = 1$ kHz です。10分の1の短さのクリック (0.1 ms) は 零点を 10 kHz に押し上げます — イベントが短いほどスペクトルが広がり、これが クリックがイコライザのすべての帯域を同時に刺激する理由です。面積を確認 面積：$f = 0$ における値は $A\tau$ − $10^{-3}$ であり、これは 1 ms のクリックに対して成立し、 $10^{-4}$ は 0.1 ms のクリックに対する値 ✓；短いクリックほど各バンドへの寄与は少ないが、 その分だけ10倍多くのバンドに広がっている。

計算例 2 — 理想フィルタの価格に上昇させる。 チャンネル ブリックウォール型ローパスフィルタを望む場合：1 から 4 kHz までゲインを維持し、0 より上では遮断する。そのインパルス応答は両方向に広がるため、理想的なフィルタは非因果的である。これを 応答は通過帯域の長方形の逆変換である： $h(t) = \frac{\sin(\omega_{c}t)}{\pi t}$ を用い、 $f_{c} = 4$ kHz — TIME（時間）領域におけるsinc関数であり、両方向に無限に伸びるため、 方向性であるため、理想的なフィルタは非因果的となる。これを $|t| \le 5$ ms（10 msの窗口）に切断すると、パスバンドゲインにリプル（ジブス現象）が生じ、 約$1/(10\ \text{ms}) = 100$ Hz間隔のリップルと、エッジは 同じく約100 Hz以上鋭くならない。トレードオフは誠実である： 他方では、 the other side.

逆変換における$\omega$を忘れること。そして$\mathrm{sinc}$を「信号そのもの」と読み解くこと — 変換は位相付きでなければ完全ではない。 $\omega\tau/2$（無次元引数、常に）。逆変換における $1/2\pi$ を忘れること。 $|X(\omega)|$ を「信号」として読み取ること — 位相を含めなければ 変換は完成しない。

まとめ。 積分による変換対：パルス ↔ 零点におけるsinc；畳み込み ↔ 乗算。ある領域での急峻さは、他方では長さである。 $1/\tau$で零点を持つパルス ↔ sinc；畳み込み ↔ 乗算。ある領域での急峻さは、他方では長さである。 他の側

重要性。 チャンネルは一点でデジタル化する：サンプラーである。 それ以降すべて — イコライザ、ストレージ、再構成 — は サンプリングステップがもたらしたものを継承しており、後から取り消すことはできない。 その後。

The idea, with a picture. Sampling multiplies the signal by an impulse train; in frequency, the spectrum replicates at multiples of $f_{s}$. The Nyquist criterion: a signal band-limited to $f_{max}$ が完全に復元できるのは $f_{s} > 2f_{max}$ の場合である。それ以下では、 複製が重なり、エイリアスによって高周波数が折り重なって 導出過程。 サンプラー出力

導出过程。 サンプリング器出力 $x_{s}(t) = x(t)\sum_{n}\delta(t - nT)$の畳み込みによって サンプリング周波数のすべての倍数ごとに複製が存在する。もし 周波数）において、スペクトラム$(1/T)\sum_{k} X(\omega - k\omega_{s})$ — より狭い間隔であれば重複し、その重複領域内ではフィルタによる識別不可能な低周波数と折り重なった高周波数を区別できない。 $X$が$|\omega| < \omega_{s}/2$を占める場合、複製は互いに接触せず、いかなる より狭い間隔でも重なりが生じ、その重なり内ではフィルタによって 真の低周波と折り返した高周波を見分けることができない。

** worked example 1 — 4 kHz のエララー。** 4 kHz コサインを6 kHz でサンプル化： $4 > 6/2 = 3$ なので、この序列は $|f - f_{s}| = 2$ kHz と区別できない。サンプルごとに確認: $\cos(2\pi \cdot \tfrac{4}{6} n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{3} n)$ および $\cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{6} n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{1}{3} n)$; 2つの系列が一致するのは、 $\cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{3} n) = \cos(2\pi(\tfrac{2}{3} - 1)n) = \cos(2\pi \cdot (-\tfrac{1}{3})n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{1}{3} n)$ ✓ （コサインは偶関数である）。A 4 kHzの音調を6 kHzでサンプリングすると、2 kHzの系列になる。

** worked example 2 — アリアス化予算への拡張。** チャンネルの マイクには20 kHzまでの内容が含まれ、サンプラーは44.1 kHzで動作する （$f_{s}/2 = 22.05$ kHz）。25 kHzの干渉トーンはエイリアン化され $44.1 - 25 = 19.1$ kHzに — 明記された20 kHz帯域内になる。アンチエイリアフィルタ サンプラーの前にそれをカットしなければならない：CDでは44.1 kHzでサンプリングするため、ガードバンドは わずか22.05 − 20 = 2.05 kHz幅であり、これがプロの録音 が96または192 kHzでオーバーサンプリングし（ガードバンドは28および76 kHz）、 穏やかにフィルタリングする理由である。修正法は常にサンプラーの前に行われ、後で行ってはならない — 折り重なった 周波数は、その起源を示すフラグを持たない。

よくある間違い。 $f_{s} = 2f_{max}$を安全と数える（不等式は厳密であり、等号はアリアスをDCに配置する）。サンプリング後にフィルタリングする（ 厳密な条件であり、等号成立時には $f_{max}$ の正弦波がゼロ交差点でサンプリングされ消失することがある）。 サンプリング後のフィルタリング（fold はすでに帯域内に存在する）。およびデジタルアップサンプリングを仮定すると 折り返しがすでに帯域内にある）。デジタルアップサンプリングを仮定すると、 低$f_{s}$で見逃された信号を復元する — 情報は記録されていなかった。

要約。 サンプル化は、$f_{s}$でスペクトルを複製する。 $f_{s} > 2f_{max}$またはエララーが折り返され、エララー防止フィルタは サンプル装置の前に配置されます；$f_{max}$と$f_{s}/2$の間のガードバンドは設計上の 予算。

重要性。 チャンネルのアナログ部 — カップリングコンデンサ、 トーンコントロール — は有理系であり、その伝達関数の極は、 振動、応答速度、安定性を一目で予測できる。

概念と図。 EE02のラプラス変換は 伝達関数 $H(s) = Y(s)/X(s)$となります；LTI系において、 $h(t) \leftrightarrow H(s)$は変換対となります。有理な$H(s)$の因子 は 極と零点 に分解されます：各極は固有モード $e^{pt}$に寄与します；収束領域（ROC）がどちらを選ぶかを決定します。因果的 安定性には、すべての極が開左半平面内にある必要があります。

導出。 $\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = 1/(s+a)$に対する $\mathrm{Re}(s) > -a$（部分積分1回）。単位勾配 $1/s$。よって、勾配で駆動される$H(s) = 1/(s+1)$に対して：

部分分数分解による単位6.2との畳み込みであり、3つの直線による 代数計算であり — 両方の経路が同じ曲線に到達します ✓。

** worked example 1 — 極を3つの方法で読む。** $H(s) = 1/(s+1)$： $s = -1$にある極は、インパルス応答内の$e^{-t}$そのものです（時間定数 1 s）；ステップ応答は$1 - e^{-t}$に落ち着き、95%に到達する $t = 3$ s；周波数応答 $H(j\omega)$ は $|H(j \cdot 1)| = 1/\sqrt{2} = 0.707$ — −3 dB 点は正確に 極の原点からの距離に位置し、その位相は $-45°$ です。

** worked example 2 — 2極トーンコントロールへ拡張 **低音 boostとノッチ付きの$H(s) = \dfrac{s^{2} + 2s + 100}{(s+1)(s+10)}$：零点は $-1 \pm j9.95$（虚軸付近の$\pm 10$ rad/sに近いため、それらは そこにノッチを形成する：$|H(j10)| = 20/(10.05 \times 14.14) = 0.14$、おおよそ −17 dB）、極は$-1$および$-10$（両方左側 — 安定 ✓）。DCゲイン $100/10 = 10$（低音を20 dB 持ち上げる ✓）；高周波利得 $1$ (the numerator's $s^{2}$ matches the denominator's). Check the 中間のディップ：$\omega = 0$ で20 dB、$\omega \to \infty$ で0 dB、この 遷移は極周波数の間にある — エクワライザ曲線全体 s平面の5つの指定点から読み取れる。

** 一般的な間違い ** 収束領域 (ROC) を考慮せずに極から安定性を判定する（原点に極があり、ROC が左方向に伸びている場合、非因果的かつ不安定です）。 （极点$-1$に左方向へのROCを持つ場合、非因果的かつ不安定である）。 $H(s)$を見落とすのは、そのROCと共にのみ存在する。そして、极点-零点プロット スケールが間違っていることに注意：−3 dB点は极点の原点からの距離 は、近接する零点がない一次因子の場合に限り当てはまる。

要約。 $H(s) = Y/X$；部分分数分解は変換を指数関数に戻し、 exponentials; poles set the modes, the ROC the causality, the left half-plane the stability, and $s = j\omega$ the frequency response.

なぜ重要か。 サンプル化された後、チャネルのイコライザーは差分方程式としてプロセッサ上で動作する — その振る舞いを理解するには、手動で反復計算を行う必要がある。 プロセッサ上で実行される方程式 — 手動で反復することでその 挙動が実際に理解される。

概念と図解。 畳み込みの離散版： $y[n] = \sum_{k} x[k]\,h[n-k]$. 差分方程式で記述されるシステム 方程式**、例えば $y[n] = 0.5\,y[n-1] + x[n]$ — 加算器 homogeneous mode is $a^{n}$ where $a$ is the root of the characteristic equation; iterating one step at a time is the direct solution. 特性方程式の1ステップごとの反復は、直接 解法である。

導出。 入力に単位ステップ、初期条件ゼロとする $y[n] = a\,y[n-1] + x[n]$ において、最初のサンプルは ゼロ初期条件において、最初のサンプルは $1,\ 1+a,\ 1+a+a^{2},\ \ldots$ であり、これは幾何級数の部分和であるため、

であり、極限 $1/(1-a)$ はDCゲイン: 連続 continuous $\int h < \infty$ condition.

** worked example 1 — 反復して収束する。** $y[n] = 0.5y[n-1] + x[n]$, $y[-1] = 0$, unit step: $y[0] = 1$, $y[1] = 1.5$, $y[2] = 1.75$, $y[3] = 1.875$ — DCゲイン $1/(1-0.5) = 2$ に近づく ✓. 残差 極限までの乖離は各ステップで半分になる（余剰分は $0.5^{n+1}$）ので、10 ステップは $0.5^{11} \approx 0.05\%$ — 算術の1行 全体テーブルの予測。

** worked example 2 — 振動根への昇格。** 設定 $a = -0.8$: ステップ上の $y[n] = -0.8\,y[n-1] + x[n]$ は $y[n] = \tfrac{1}{1.8}(1 - (-0.8)^{n+1})$ — 以下のアプローチに $0.556$ は振動する: $y[0] = 1$, $y[1] = 0.2$, $y[2] = 0.84$, $y[3] = 0.328$. $|a| = 0.8 < 1$ を確認 — まだ安定（振動が 減衰する）、サンプルごとに符号が反転するのは 負の実根後、離散類推体は複素極対の半分のサンプリング レートで振動する（$z = -0.8$ は $s = (\ln 0.8 \pm j\pi)/T$ にマッピングされる）。

** 一般的な間違い。** 誤った $y[-1]$ で反復（最初の行 最初の行前の条件）。最初の数個のサンプルから安定性を宣言する サンプル（$|a| < 1$ のみが決定する）。そして $n = 0$ からDCゲインを読み取る のみ — それは $1/(1-a)$ であり、LIMIT であり、サンプルが落ち着くまで見えない。

** 要約。** 差分方程式 → 反復; 幾何学的部分和; 总结。 差分方程 → 迭代；几何部分和；DC增益$1/(1-a)$；单位圆内的根 = 稳定性；负根或复根 = 振荡。 negative or complex roots = oscillation.

** 重要性。** イコライザは差分方程式の係数として出荷される $a_{k}, b_{k}$ は差分方程式の係数であり、z 変換はそれらの 数字を選ぶための手法であり、単位円 は周波数応答が 読み取られる。

図解による解説。 z変換 z $X(z) = \sum_{n} x[n]z^{-n}$ は離散時間におけるラプラス変換の役割を果たす。基本対: $a^{n}u[n] \leftrightarrow 1/(1 - az^{-1})$ と収束域 (ROC) $|z| > |a|$. 因果系において、単位円の内側の極は安定性を意味する。 逆変換は長除法または部分分数分解によって求められる。

The derivation. $\sum_{n=0}^{\infty} a^{n}z^{-n}$ is geometric with $az^{-1}$ のときのみ $1/(1 - az^{-1})$ に収束する。つまり、 $|az^{-1}| < 1$ 、すなわち $|z| > |a|$ —— 収束域は極を通る円の外部である。 極を通る。安定性にはROCに単位円 （周波数軸 $z = e^{j\omega}$）が含まれる必要があり、これは $|a| < 1$ を強制する — 即ち これは単位円条件を一行で表したものである。

** worked example 1 —— 変換による蓄積器の再考。** $H(z) = 1/(1 - 0.5z^{-1})$ 、極は $z = 0.5$ —— 単位円の内側にあり、 安定 ✓ 。ステップ応答： $Y(z) = H(z)\,\dfrac{z}{z-1} = \dfrac{z^{2}}{(z-0.5)(z-1)}$ ；部分分数分解により $y[n] = 2(1 - 0.5^{n+1})$ が得られる。$n = 0$ を確認すると：$2(1 - 0.5) = 1$ ✓ 単位 6.6 の反復と一致し、$n \to \infty$ は与える $2$ ✓ — DCゲインの再確認。2つの手法、1つの系列。

** worked example 2 — 平面対平面辞書 ** 写像 $s \to z = e^{sT}$ は $s = j\omega$ を単位円に送る $e^{j\omega T}$ （周波数＝角度）、および連続的な減衰率 $\sigma$ が半径 $e^{\sigma T}$ へ。アキュムレータの極は $z = 0.5$ にあり、$T = 1$ ms と対応する $\sigma = \ln(0.5)/0.001 = -693\ \text{s}^{-1}$ — 時間定数は $1/693 = 1.44$ ms。Unit 6.6 の反復との照合：ギャップは半分に SAMPLE（$0.5 = e^{-0.693}$）あたり減少し、秒あたり $0.693/T$ は同じ $-693\ \text{s}^{-1}$ ✓。2つの変換は、同一の主題が 同一の川の下流と上流から見たもの。

** 一般的な間違い。** ROC（収束領域）なしで $H(z)$ 引用（同様の有理 関数は ROC が変化する際に異なる系を記述できる）。周波数応答の読み取り 実軸から読み取る（$|z| = 1$ 上に存在する）。そして $z$ と $z^{-1}$ の慣例 — 因果序列 $a^{n}u[n]$ に対して、ROC は $|z| > |a|$；左側シグナルは異なる ROC を持つ。

** 要約。** $a^{n} \leftrightarrow 1/(1-az^{-1})$、ROCは外側； 因果系において、単位円内の極 ＝ 安定性；$z = e^{sT}$ は減衰を radius and frequency to angle — and the DC gain $1/(1-a)$ closes the 反復によってループを閉じる。