対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- パラメータを含む一次方程式（変数1つ）を解き、分類する
- 連立一次方程式（変数2つ）を順次対の集合として解釈する
- 文脈付き一次関数の傾きと切片を解釈する
- 連立方程式（2式）を分類し、交点を確認する
- 変数1つまたは2つの厳密不等式と非厳密不等式を表現する
前提知識：同類項をまとめます；順対を代入します；符号付き算术を行います。
説明し、方法を選択する
変数項と定数を別々に集約します。方程式 ax+b=cx+d は (a-c)x=d-b となります。a-c がゼロでない場合、唯一の解があります；両辺がゼロに収束すれば無限に多くの解があります；変数の係数がゼロだが定数がゼロではない場合、解はありません。パラメータがゼロになるかどうかを確認する前に、決してパラメータで割り算を行わないでください。
A two-variable equation gives a set of ordered pairs. In y=mx+b, m is the change in y per unit x and b is y at x=0. For a contextual model, attach units to both: a taxi charge C=3t+5 has a 5-unit initial fee and 3 units per time unit. The intercept may be outside the practical domain even when it exists algebraically.
連立方程式に対しては、両方の係数と定数項を比較します。一方の方程式全体をゼロ以外の数で掛けると、同じ直線になります。変数の係数が一致しているのに定数項が異なれば、平行で異なる直線になります。それ以外の場合、交点によって両方の方程式を満たすペアが見つかります。そのペアを元の両方の方程式に代入して確認してください。
不等式を負の数で掛けたり割ったりすると、不等号の向きが逆になります。厳密な不等式は境界を除外しますが、≤や≥は境界を含みます。2変数の場合、対応する直線を描き、そこから離れた点进行测试して、許容される半平面を特定します。図は特定の一点ではなく、すべての解を表しています。
恒等式はすべての許容される入力に対して成立する。$ax+b=cx+d$から始める。 項をまとめます：$(a-c)x=d-b$。 割り算を行う前に $a-c$ を確認します。 $a=c$ と $b=d$ の両方が成り立つ場合、すべての実数入力が有効です。$a=c$ のみが成立する場合、有効な入力は存在しません。 それ以外の場合、$x=(d-b)/(a-c)$ は一つの解を与えます。
Worked example. For kx+6=2x+6, k=2 gives 0=0 and infinitely many solutions; k≠2 gives x=0. For -2x+3<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4. For y≤2x+1, (0,0) works and the solid boundary is included. The system 2x+4y=10 and x+2y=6 has no solution because doubling the second gives the same left side equal to 12, not 10.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
実数 $p$ に対して、方程式 $(p-1)x+3=2x+p$ の解を分類せよ。
** 推理。** 項を集めて $(p-3)x=p-3$ を得る。$p=3$ において、方程式は $0=0$ であるため、すべての実数 $x$ が有効である。$p\ne3$ において、$p-3$ で割って $x=1$ を得る。$p$ には解がない値はない。$x=1$ を代入すると、両辺に $p+2$ が得られる。
練習 2
乗り物賃金$C$元には固定料$f$元と時間単価$r$元が含まれます。3時間の料金は31元、7時間の料金は59元です。$f,r$を求め、80元で利用可能な最大の整数時間を求めよ。
解説。 $C=f+rt$を用いる。方程式は$31=f+r(3\,\mathrm{h})$と$59=f+r(7\,\mathrm{h})$である。両式を引くと：$r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$。したがって$f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$となる。予算：$10+7t\le80$なので、$t\le10$時間である。10時間は利用可能だが、11時間は87元かかる。
練習 3
$y>2x-1$と$y\le-x+5$を満たすすべての点を記述せよ。$(2,3)$は含まれるか？ $x$の取りうる値を述べよ。
**解説。**境界線1は破線、境界線2は実線である。共通領域は第1直線の上、かつ第2直線以上または下にある。$(2,3)$において第1条件は$3>3$であり、これは成立しない。垂直区間が存在するためには、$2x-1<-x+5$、したがって$x<2$である。直線は$(2,3)$で交わるが、その交点は除外される。
Limits and next use
x=0を消えた係数と混同したり、負の数の掛け算・割り算時以外に不等号を反転させたり、直線の傾きだけで半平面を塗り分けたりしないでください。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。